贝叶斯公式与随机点名中的学生可信度

今天的Java上机练习有一道非常有意思的题：

使用贝叶斯公式求解，随机点名多少次，学生的可信度降到了0.01以下，该同学需要经过多少次，可信度才能上升到0.85。假定初始同学可信的概率是0.8，可信同学上课的概率是0.8，不可信同学上课的概率是0.4，请编写程序求解上述问题。

贝叶斯分析作为一个统计学的基本流派，通过先验和条件概率的结合，可以综合已有过往人类对一个领域的知识和更新的数据，来不停改进人类的认知。即一个人的行为会不断修正其他人对其的看法。
相信大家都听过“狼来了”的故事，而这道题和“狼来了”非常类似。在这道题目的背景下，学生有两种行为，即去上课和不去上课；老师也有两种行为，即信任这个学生或不信任这个学生。我们不妨设事件AAA表示学生不来上课，事件BBB表示学生可信。那么根据题意，有P(B)=0.8,P(Bˉ)=0.2.P(B)=0.8,P(\bar B)=0.2.P(B)=0.8,P(Bˉ)=0.2.在计算修正后的学生可信度时，我们需要知道可信的学生不来上课的概率，以及不可信的学生不来上课的概率，即P(A∣B)=0.2,P(A∣Bˉ)=0.6.P(A|B)=0.2,P(A|\bar B)=0.6.P(A∣B)=0.2,P(A∣Bˉ)=0.6.那么，当可信的学生第一次不来上课时，他的可信度修正为P(B∣A)=P(B)P(A∣B)P(B)P(A∣B)+P(Bˉ)P(A∣Bˉ)=0.8×0.20.8×0.2+0.2×0.6=47.P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\bar B)P(A|\bar B)}=\frac{0.8\times0.2}{0.8\times0.2+0.2\times0.6}=\frac{4}{7}.P(B∣A)=P(B)P(A∣B)+P(Bˉ)P(A∣Bˉ)P(B)P(A∣B)=0.8×0.2+0.2×0.60.8×0.2=74.
也就是说，可信的学生第一次不来上课，他的可信度就会从原先的0.8下降到0.57左右。当他后续多次不来上课时，他的可信度就会越来越低。

double b = 0.8;        // 学生可信
double b_ = 0.2;       // 学生不可信
double ab = 0.2;       // 学生可信但未上课
double ab_ = 0.6;      // 学生不可信且未上课
double a_b = 0.8;      // 学生可信且上课
double a_b_ = 0.4;     // 学生不可信但上课// 随机点名多少次，学生的可信度降到了0.01以下
int cnt1 = 0;
while (b >= 0.01) {b = (b * ab) / (b * ab + b_ * ab_);b_ = 1 - b;cnt1++;
}
System.out.println("随机点名" + cnt1 + "次，学生的可信度降到了0.01以下");
System.out.println("此时学生的可信度为" + b);

通过编写程序，我们可以得知，当学生连续6次不来上课时，他的可信度就会从0.8降到0.01以下。

同样的道理，如果他后续来上课，那么老师对他的可信度就会不断提高。下面是解决本道题目后半个问题的代码：

// 该同学需要经过多少次，可信度才能上升到0.85
int cnt2 = 0;
while (b < 0.85) {b = (b * a_b) / (b * a_b + b_ * a_b_);b_ = 1 - b;cnt2++;
}
System.out.println("该同学需要经过" + cnt2 + "次，可信度才能上升到0.85");
System.out.println("此时学生的可信度为" + b);

下面是解决本题的完整代码：

package JavaProgramming_B;public class Experiment_2_4 {public static void main(String[] args) {double b = 0.8;        // 学生可信double b_ = 0.2;       // 学生不可信double ab = 0.2;       // 学生可信但未上课double ab_ = 0.6;      // 学生不可信且未上课double a_b = 0.8;      // 学生可信且上课double a_b_ = 0.4;     // 学生不可信但上课// 随机点名多少次，学生的可信度降到了0.01以下int cnt1 = 0;while (b >= 0.01) {b = (b * ab) / (b * ab + b_ * ab_);b_ = 1 - b;cnt1++;}System.out.println("随机点名" + cnt1 + "次，学生的可信度降到了0.01以下");System.out.println("此时学生的可信度为" + b);// 该同学需要经过多少次，可信度才能上升到0.85int cnt2 = 0;while (b < 0.85) {b = (b * a_b) / (b * a_b + b_ * a_b_);b_ = 1 - b;cnt2++;}System.out.println("该同学需要经过" + cnt2 + "次，可信度才能上升到0.85");System.out.println("此时学生的可信度为" + b);}
}

运行结果如下：

由此可见，一个人的行为确实会不断修正其他人对其的看法。

参考文章：如何用贝叶斯公式计算“狼来了”中村民对小孩的信任程度
如发现本文中的问题，请联系我，我将不胜感激，并将问题加以改正。

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