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零、读前说明一、二叉树相关概念1.1、定义1.2、性质1.3、满二叉树与完全二叉树1.3.1、满二叉树1.3.2、完全二叉树1.3.3、特点延伸

二、二叉树储存结构2.1、顺序结构存储2.2、链式结构存储2.2.1、二叉链表表示法2.2.2、三叉链表表示法2.2.3、双亲表示法

三、二叉树的遍历3.1、遍历的说明3.2、遍历的实质

零、读前说明

本文中所有设计的代码均通过测试，并且在功能性方面均实现应有的功能。设计的代码并非全部公开，部分无关紧要代码并没有贴出来。如果你也对此感兴趣、也想测试源码的话，可以私聊我，非常欢迎一起探讨学习。由于时间、水平、精力有限，文中难免会出现不准确、甚至错误的地方，也很欢迎大佬看见的话批评指正。 嘻嘻。。。。 。。。。。。。。收！

一、二叉树相关概念

1.1、定义

二叉树 是 n(n≥0) 个节点的有限集合，由一个根节点以及两个互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的基本特征为：

(1)每个节点最多只有两个子树(不存在度大于2的节点)   (2)左子树和右子树的次序不能颠倒，是一种有序树

那么对于下图1.1的几种情况，均为合法的二叉树结构/形态。从左到右依次是：左右子树、左子树、右子树、根、空树。

图1.1 二叉树的形态

1.2、性质

1、在第 i 层的节点数目之多有 2i - 1 -1 个，并且在第 i 层上至少有 1 个节点(叶子节点)。   2、深度为i的二叉树，至多有 2 k  -1 (k>0)个节点，并且深度为 i 是至少有 i 个节点。   3、对于一个二叉树，若度数为 2 的节点数有 n2 个，则叶子树( n0 )必定为 n0 = n2 +1个，比如下图1.2所致这样的树。

图1.2 二叉树举例

度数为2的节点有 5 个(A,B,C,D,E)    那这个的叶子节点有5+1=6个(F,I,G,K,L,M)。

1.3、满二叉树与完全二叉树

1.3.1、满二叉树

一个深度为 k 且有 2k -1 个节点的二叉树，也就是除了叶子节点，其他的所有节点均有两个子节点(左边、右边)。

图1.3 深度为4的满二叉树

1.3.2、完全二叉树

1、深度为 k 的有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点斗鱼深度为 k 的满二叉树中编号从1到n的节点一一对应。   2、第 k-1 层和满二叉树一样，最后一层叶子节点尽量靠左，并且左边所有的节点都是2。   3、完全二叉树的特点就是，只有最后一层叶子不满，并且集中在左边。

图1.4 完全二叉树、不是完全二叉树

1.3.3、特点延伸

对于满二叉树和完全二叉树，还具下面的两个特点。

有 n 个节点的完全二叉树的深度为 m = [ log2n ] + 1。

比如下面的这个(满)完全二叉树：

图1.5 根据节点求深度举例

上图中，其中节点个数为 11，那么根据上面的公式转换为 2x=11, 那么 x 的取值范围大概为 3.3 到 3.4 之间，那么向下取整数的话也就是 X 的值为3，所以此完全二叉树的深度为 3 + 1 = 4，与实际也是符合的。

对于完全二叉树，若从上到下，从左到右的依次编号(从1开始)，则编号为 i 的节点。其左孩子编号必定为2i，其右孩子的编号必定为 2i+1，其双亲的编号必定为 i/2(如果i=1，则为树根，除外)。

比如下面的这个完全二叉树：

图1.6 二叉树编号示意

二、二叉树储存结构

2.1、顺序结构存储

像前面所言，按照二叉树节点的“从上到下、从左到右”进行编号，用一组连续的存储单元(数组)进行存储。

那么对于顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状呢？

1、如果是完全二叉树/满二叉树，根据完全/满二叉树的性质，下标值为i的双亲，其左孩子的下标值必定为2i，其右孩子的下标值必定为2i+1，所以则可以做到唯一的复原。   2、如果不是完全二叉树，那么如果要复原将难上加难，那么想要正确、唯一复原的话，那么可以将这个树转换为完全二叉树，将各层空缺处统统补上 “虚节点” ，内容为空。

具体效果如图2.1所示。

图2.1 补"虚节点“示意图

就像咱们看到的一样，这种情况下存在很多的不足。

(1)空间浪费严重     (2)插入、删除等费时费力

2.2、链式结构存储

对于链式结构存储，设计不同的节点结构可以构成不同形式的链式存储结构。

图2.2 二叉树及存储结构(二叉链、三叉链)

2.2.1、二叉链表表示法

一般从根节点开始存储，所以访问树种的节点也只能从根节点开始。

二叉链表表示法的图例如下图2.3所示。

图2.3 二叉链表表示法

二叉链表表示法的结构模型如下面的示例代码。

/* 定义二叉树的节点类型 */

typedef int TElemType;

/* 二叉链表表示法的结构模型 */

typedef struct BiTNode

{

TElemType data;         /* 节点数据 */

struct BiTNode *lchild; /* 左孩子 */

struct BiTNode *rchild; /* 右孩子 */

} BiTNode, *BiTree;

用下面的简单的代码实现二叉树的创建、初始化等操作，代码示例如下。

1、普通变量表示

/**

* 功 能：

*      创建并且初始二叉树 - 直接定义

* 参 数：

*      无

* 返回值：

*      无

**/

void BiTree_Create_v(void)

{

// 二叉树的节点定义

BiTNode t1, t2, t3, t4, t5, t6;

/* 内存初始化为0，这样用"^"表示的区域直接略过不写，就是NULL */

memset(&t1, 0, sizeof(BiTNode));

memset(&t2, 0, sizeof(BiTNode));

memset(&t3, 0, sizeof(BiTNode));

memset(&t4, 0, sizeof(BiTNode));

memset(&t5, 0, sizeof(BiTNode));

memset(&t6, 0, sizeof(BiTNode));

/* 二叉树的数据初始化 */

t1.data = 'A';

t2.data = 'B';

t3.data = 'C';

t4.data = 'D';

t5.data = 'E';

t6.data = 'F';

/* 二叉树的关系式的创建 */

t1.lchild = &t2;

t1.rchild = &t3;

t2.lchild = &t4;

t2.rchild = &t5;

t3.lchild = &t6;

printf("%s Finished!\n", __func__);

}

2、指针表示

/**

* 功 能：

*      创建并且初始二叉树 - 指针定义

* 参 数：

*      无

* 返回值：

*      无

**/

void BiTree_Create_p(void)

{

/* 通过指针的形式创建，下面的两种创建方式一样的 */

#if 0

BiTNode *p1, *p2, *p3, *p4, *p5, *p6;

#else

BiTree p1, p2, p3, p4, p5, p6;

#endif

p1 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

p2 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

p3 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

p4 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

p5 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

p6 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

memset(p1, 0, sizeof(BiTNode));

memset(p2, 0, sizeof(BiTNode));

memset(p3, 0, sizeof(BiTNode));

memset(p4, 0, sizeof(BiTNode));

memset(p5, 0, sizeof(BiTNode));

memset(p6, 0, sizeof(BiTNode));

p1->data = 'A';

p2->data = 'B';

p3->data = 'C';

p4->data = 'D';

p5->data = 'E';

p6->data = 'F';

/* 二叉树的关系式的创建 */

p1->lchild = p2;

p1->rchild = p3;

p2->lchild = p4;

p2->rchild = p5;

p3->lchild = p6;

printf("%s Finished!\n", __func__);

}

2.2.2、三叉链表表示法

在二叉链表的基础上，增加一个双亲域(直接前驱)指针，那么就可倒查某节点的双亲。   三叉链表表示法的图例如下图2.4所示。

图2.4 三叉链表表示

三叉链表表示法的结构模型如下面的示例代码。

/* 定义节点的类型 */

typedef int TElemType;

/* 三叉链表表示法的结构模型 */

typedef struct TriTNode

{

TElemType data;          /* 节点数据 */

struct TriTNode *lchild; /* 左孩子 */

struct TriTNode *rchild; /* 右孩子 */

struct TriTNode *parent; /* 双亲节点 */

} TriTNode, *TriTree;

用下面的简单的代码实现三叉链表创建、初始化等操作，代码示例如下。

/**

* 功 能：

*      创建并且初始三叉树 - 三叉连表示法

* 参 数：

*      无

* 返回值：

*      无

**/

void TriTree_Create(void)

{

TriTNode tr1, tr2, tr3, tr4, tr5, tr6;

/* 内容村初始化为0 */

memset(&tr1, 0, sizeof(TriTNode));

memset(&tr2, 0, sizeof(TriTNode));

memset(&tr3, 0, sizeof(TriTNode));

memset(&tr4, 0, sizeof(TriTNode));

memset(&tr5, 0, sizeof(TriTNode));

memset(&tr6, 0, sizeof(TriTNode));

tr1.data = 1;

tr2.data = 2;

tr3.data = 3;

tr4.data = 4;

tr5.data = 5;

/* 三叉树的关系式的创建 */

tr1.lchild = &tr2;

tr1.rchild = &tr3;

tr2.lchild = &tr4;

tr2.rchild = &tr5;

tr2.parent = &tr1;

tr3.lchild = &tr6;

tr3.parent = &tr1;

tr4.parent = &tr2;

tr5.parent = &tr2;

tr6.parent = &tr3;

printf("%s Finished!\n", __func__);

}

2.2.3、双亲表示法

在子节点中保存了双亲的位置信息。由两个表用来表示，分别为节点表、节点关系表。双亲表示法的图例如下图2.5所示。

图2.5 双亲表示法

双亲表示法的结构模型如下面的示例代码。

/* 定义节点的类型 */

typedef int TElemType;

/* 双亲表示法的结构模型 */

#define TREE_SIZE_MAX 20 /* 树的最大容量 */

typedef struct BPTNode

{

TElemType data;    /* 节点数据 */

int parentPostion; /* 指向双亲的指针 -- 数组的下标 */

char LRFlag;       /* 左孩子-右孩子 的标志 */

} BPTNode;

typedef struct BPTree

{

BPTNode nodes[TREE_SIZE_MAX]; /* 保存节点 */

int nodeCnt;                  /* 节点的数量 */

int root;                     /* 根节点的位置，保存双亲结点的数组下标 */

} BPTree;

用下面的简单的代码实现双亲创建、初始化等操作，代码示例如下。

/**

* 功 能：

*      创建并且初始二叉树 - 双亲表示法

* 参 数：

*      无

* 返回值：

*      无

* 说 明：

*      为了方便标识根节点，parentPostion、LRFlag两个元素全部为0标识根节点，当然您可以随意定义的

**/

void BPTree_Create(void)

{

BPTree tree;

/* 根节点,使用特殊标识来表示根节点 */

tree.nodes[0].parentPostion = 0;

tree.nodes[0].data = 'A';

tree.nodes[0].LRFlag = 0;

/* B节点，LRFlag = 1 表示为左孩子节点 */

tree.nodes[1].parentPostion = 0;

tree.nodes[1].data = 'B';

tree.nodes[1].LRFlag = 1;

/* C节点，LRFlag = 2 表示为右孩子节点 */

tree.nodes[2].parentPostion = 0;

tree.nodes[2].data = 'C';

tree.nodes[2].LRFlag = 2;

/* D节点 */

tree.nodes[3].parentPostion = 1;

tree.nodes[3].data = 'D';

tree.nodes[3].LRFlag = 1;

/* E节点 */

tree.nodes[4].parentPostion = 1;

tree.nodes[4].data = 'E';

tree.nodes[4].LRFlag = 2;

/* F节点 */

tree.nodes[5].parentPostion = 2;

tree.nodes[5].data = 'F';

tree.nodes[5].LRFlag = 1;

printf("%s Finished!\n", __func__);

}

三、二叉树的遍历

3.1、遍历的说明

遍历指的是：从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使每个节点被访问且仅被访问一次。   那么二叉树由根、左子树、右子树组成，定义为D、L、R，那根据排列组合的将会有六种遍历的方法。

LDR、LRD、DLR、DRL、RDL、RLD

如果限定先左后右，那就有三种方法：

DLR – 先序遍历 ：即先遍历根节点、再遍历左子树、再遍历右子树    LDR – 中序遍历 ：即遍历先左子树、再遍历根节点、再遍历右子树    LRD – 后序遍历 ：即遍历先左子树、再遍历右子树、再遍历根节点   还有另外一种常用的遍历的方法，        层序遍历 ： 即先从上到下，从左到右一层一层进行遍历

注意：     1、先中后都是基于根来说的     2、先中后的概念是指访问的节点是先于组数出现还是后于子树出现。     3、深度遍历的运行过程是先进后出的，自然的方法是栈和递归，包含先序遍历，中序遍历，后续遍历     4、广度遍历的运行过程是先进先出的，自然的方法是队列，包含层序遍历

对于同一个树不同遍历的输出不同，下图用一个简单的示例说明。

图3.1 二叉树的遍历

3.2、遍历的实质

对于树的遍历，如果去掉上面点中的 printf 打印语句，那么先序、中序、后序遍历逻辑是一样的，只是打印数据的时机不同，也就是经过的路径是一样的，但是访问的时机不同而已。

下图用虚线表示出来遍历树的时候的路劲，可以看到树中的每一个节点都会被访问到三次(对于叶子节点的第二次和三次访问可以想象成小乔的一技能。。。)。

图3.2 树的遍历的路径表示

好了，关于二叉树的基础知识就暂时先写到这儿，那既然你都看到了这儿呢，说明你还是一个热爱学习的最靓的崽啦，看在作者我呢写作总结不容易，动动你发财的小手手给点个赞啦，要是能关注一波那就更好啦！(疯狂暗示的眼神ing…)

啦啦啦，撒花完结！

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