循环卷积

循环矩阵（Circulant Matrices）

C=[c0c1⋯cN−1cN−1c0⋱⋮⋮⋱⋱c1c1⋯cN−1c0]∈RN×N(1)\boldsymbol{C}=\left[ \begin{matrix} c_0& c_1& \cdots& c_{N-1}\\ c_{N-1}& c_0& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& c_1\\ c_1& \cdots& c_{N-1}& c_0\\ \end{matrix} \right] \in \mathbb R^{N \times N} \tag{1} C=⎣⎢⎢⎢⎢⎡c0cN−1⋮c1c1c0⋱⋯⋯⋱⋱cN−1cN−1⋮c1c0⎦⎥⎥⎥⎥⎤∈RN×N(1)

任意循环矩阵C1,C2\boldsymbol C_1, \boldsymbol C_2C1,C2，C1C2=C2C1\boldsymbol C_1 \boldsymbol C_2 = \boldsymbol C_2 \boldsymbol C_1C1C2=C2C1也是循环阵（因此循环矩阵必然也是normal矩阵，因为CCT=CTC\boldsymbol C \boldsymbol C^T= \boldsymbol C^T \boldsymbol CCCT=CTC）。循环阵可以表示为多项式形式：
C=c0I+c1P+⋯+cN−1PN−1(2)\boldsymbol C = c_0 \boldsymbol I + c_1 \boldsymbol P + \cdots + c_{N-1} \boldsymbol P^{N-1} \tag{2} C=c0I+c1P+⋯+cN−1PN−1(2)

其中P\boldsymbol PP为循环移位矩阵(Circlic Shift Matrix) ，这里我们考虑up cyclic shit matrix (down cyclic shift matrix 类似)，以N=4N=4N=4为例
P=[0100001000011000](3)\boldsymbol{P}=\left[ \begin{matrix} 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] \tag{3} P=⎣⎢⎢⎡0001100001000010⎦⎥⎥⎤(3)

其循环移位过程可以从下式看出
P[x1x2x3x4]=[0100001000011000][x1x2x3x4]=[x2x3x4x1](4)\boldsymbol P \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{matrix} 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_1\\ \end{array} \right] \tag{4} P⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0001100001000010⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡x2x3x4x1⎦⎥⎥⎤(4)

因为P\boldsymbol PP是循环移位矩阵，所以
PN=I(5)\boldsymbol P^N = \boldsymbol I \tag{5} PN=I(5)

这里N=4N=4N=4。

根据式(2)，不难得出，C\boldsymbol CC的特征向量与P\boldsymbol PP的特征向量等价，因此我们主要分析P\boldsymbol PP的谱特性。
det(P−λI)=det([−λ1000−λ1000−λ1100−λ])=λ4−1=0⇒λ=1,−1,i,−i(5)\begin{aligned} \text{det} \left ( \boldsymbol P - \lambda \boldsymbol I \right ) &= \text{det} \left ( \left[ \begin{matrix} -\lambda& 1& 0& 0\\ 0& -\lambda& 1& 0\\ 0& 0& -\lambda& 1\\ 1& 0& 0& -\lambda\\ \end{matrix} \right] \right ) \\ & = \lambda^4 - 1 \\ & = 0 \\ \Rightarrow \lambda &= 1, -1, i, -i \end{aligned} \tag{5} det(P−λI)⇒λ=det⎝⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎡−λ0011−λ0001−λ0001−λ⎦⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎞=λ4−1=0=1,−1,i,−i(5)

其特征值如下图所示

所对应的特征向量为
λ=1,[1111];λ=−1,[1−11−1];λ=i,[1ii2i3];λ=−i,[1−i(−i)2(−i)3](6)\lambda =1,\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right] ; \lambda =-1,\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right] ; \lambda =i,\left[ \begin{array}{c} 1\\ i\\ i^2\\ i^3\\ \end{array} \right] ; \lambda =-i,\left[ \begin{array}{c} 1\\ -i\\ \left( -i \right) ^2\\ \left( -i \right) ^3\\ \end{array} \right] \,\, \tag{6} λ=1,⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤;λ=−1,⎣⎢⎢⎡1−11−1⎦⎥⎥⎤;λ=i,⎣⎢⎢⎡1ii2i3⎦⎥⎥⎤;λ=−i,⎣⎢⎢⎡1−i(−i)2(−i)3⎦⎥⎥⎤(6)

令
F=12[11111−11−11ii2i31−i(−i)2(−i)3](7)\boldsymbol{F}=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}& \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\\ -1\\ \end{array}& \begin{array}{c} 1\\ i\\ i^2\\ i^3\\ \end{array}& \begin{array}{c} 1\\ -i\\ \left( -i \right) ^2\\ \left( -i \right) ^3\\ \end{array}\\ \end{matrix} \right] \tag{7} F=21⎣⎢⎢⎡11111−11−11ii2i31−i(−i)2(−i)3⎦⎥⎥⎤(7)

对应的特征分解为
P=F[10000−10000i0000−i]FH=FΛFH(8)\begin{aligned} \boldsymbol P &= \boldsymbol F \left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& i& 0\\ 0& 0& 0& -i\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol F^H \\ & = \boldsymbol F \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F^H \end{aligned} \tag{8} P=F⎣⎢⎢⎡10000−10000i0000−i⎦⎥⎥⎤FH=FΛFH(8)

因此循环矩阵C\boldsymbol CC的特征分解可以写为，
C=F(c0I+c1Λ+cN−1ΛN−1)FH(9 )\boldsymbol C = \boldsymbol F \left ( c_0 \boldsymbol I + c_1 \boldsymbol \Lambda + c_{N-1} \boldsymbol \Lambda^{N-1} \right ) \boldsymbol F^H \tag{9 } C=F(c0I+c1Λ+cN−1ΛN−1)FH(9 )

为了更好地理解，当N=8N=8N=8时，其特征值可以用下图表示

其中
ω=e2πiN,N=8(10)\omega = e^{\frac{2 \pi i}{N}} , \ \ N = 8 \tag{10}ω=eN2πi, N=8(10)

特征矩阵
F8=18[111⋯11ω1ω2⋯ω71ω2ω4⋯ω1411111ω3ω4ω5ω6ω7ω6ω8ω10ω12ω14⋯ω21⋯ω28⋯ω35⋯ω42⋯ω49](11)\boldsymbol F_8 = \frac{1}{\sqrt 8} \left[ \begin{matrix} 1& 1& 1& \begin{matrix} \cdots& 1\\ \end{matrix}\\ 1& \omega ^1& \omega ^2& \begin{matrix} \cdots& \omega ^7\\ \end{matrix}\\ 1& \omega ^2& \omega ^4& \begin{matrix} \cdots& \omega ^{14}\\ \end{matrix}\\ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array}\\ \end{array}& \begin{array}{c} \omega ^3\\ \omega ^4\\ \omega ^5\\ \begin{array}{c} \omega ^6\\ \omega ^7\\ \end{array}\\ \end{array}& \begin{array}{c} \omega ^6\\ \omega ^8\\ \omega ^{10}\\ \begin{array}{c} \omega ^{12}\\ \omega ^{14}\\ \end{array}\\ \end{array}& \begin{array}{c} \begin{matrix} \cdots& \omega ^{21}\\ \end{matrix}\\ \begin{matrix} \cdots& \omega ^{28}\\ \end{matrix}\\ \begin{matrix} \cdots& \omega ^{35}\\ \end{matrix}\\ \begin{array}{c} \begin{matrix} \cdots& \omega ^{42}\\ \end{matrix}\\ \begin{matrix} \cdots& \omega ^{49}\\ \end{matrix}\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{matrix} \right] \tag{11} F8=81⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡111111111ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω71ω2ω4ω6ω8ω10ω12ω14⋯1⋯ω7⋯ω14⋯ω21⋯ω28⋯ω35⋯ω42⋯ω49⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(11)

一般地，FN\boldsymbol F_NFN中的第(k,n)(k,n)(k,n)个元素为：
FN(k,n)=1Nexp⁡(i2πknN),0≤k,n≤N−1(12)\boldsymbol F_N (k,n) = \frac{1}{N}\exp (\frac{i 2 \pi k n}{N}) , \ \ 0 \leq k, n \leq N-1 \tag{12} FN(k,n)=N1exp(Ni2πkn), 0≤k,n≤N−1(12)

小结：循环矩阵C\boldsymbol CC与循环移位矩阵P\boldsymbol PP有密切的关系，尤其是谱空间意义上。一般地，循环矩阵C\boldsymbol CC都可以被谱分解为
C=FDFH(13)\boldsymbol C = \boldsymbol F \boldsymbol D \boldsymbol F^H \tag{13} C=FDFH(13)

其中F\boldsymbol FF为DFT矩阵，D\boldsymbol DD为对角阵，且多数情况下都是复数。

循环矩阵与循环卷积的关系

令
cT=[c0,c1,⋯,cN−1]∈R1×NvT=[v0,v1,⋯,vN−1]∈R1×N\boldsymbol c^T = [c_0, c_1, \cdots, c_{N-1}] \in \mathbb R^{1 \times N} \\ \boldsymbol v^T = [v_0, v_1, \cdots, v_{N-1}] \in \mathbb R^{1 \times N} cT=[c0,c1,⋯,cN−1]∈R1×NvT=[v0,v1,⋯,vN−1]∈R1×N

那么 cT\boldsymbol c^TcT 和 vT\boldsymbol v^TvT 的循环卷积为
cT⊗vT=vT[c0c1⋯cN−1cN−1c0⋱⋮⋮⋱⋱c1c1⋯cN−1c0]=cT[v0v1⋯vN−1vN−1v0⋱⋮⋮⋱⋱v1v1⋯vN−1v0](14)\begin{aligned} & \boldsymbol c^T \otimes \boldsymbol v^T \\ & = \boldsymbol v^T \left[ \begin{matrix} c_0& c_1& \cdots& c_{N-1}\\ c_{N-1}& c_0& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& c_1\\ c_1& \cdots& c_{N-1}& c_0\\ \end{matrix} \right] \\ & = \boldsymbol c^T \left[ \begin{matrix} v_0& v_1& \cdots& v_{N-1}\\ v_{N-1}& v_0& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& v_1\\ v_1& \cdots& v_{N-1}& v_0\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} \tag{14} cT⊗vT=vT⎣⎢⎢⎢⎢⎡c0cN−1⋮c1c1c0⋱⋯⋯⋱⋱cN−1cN−1⋮c1c0⎦⎥⎥⎥⎥⎤=cT⎣⎢⎢⎢⎢⎡v0vN−1⋮v1v1v0⋱⋯⋯⋱⋱vN−1vN−1⋮v1v0⎦⎥⎥⎥⎥⎤(14)

举例：令cT=[3,1,2]\boldsymbol c^T=[3,1,2]cT=[3,1,2]，vT=[4,6,1]\boldsymbol v^T=[4,6,1]vT=[4,6,1]，那么
cT⊗vT=[3,1,2]⊗[4,6,1]=[4,6,1][312231123]=[3,1,2][461146614]=[25,14,17]\begin{aligned} \boldsymbol c^T \otimes \boldsymbol v^T &= [3,1,2] \otimes [4,6,1] \\ & = [4,6,1] \left[ \begin{matrix} 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 3\\ \end{matrix} \right] \\ & = [3,1,2] \left[ \begin{matrix} 4& 6& 1\\ 1& 4& 6\\ 6& 1& 4\\ \end{matrix} \right] \\ &= [25, 14, 17] \end{aligned} cT⊗vT=[3,1,2]⊗[4,6,1]=[4,6,1]⎣⎡321132213⎦⎤=[3,1,2]⎣⎡416641164⎦⎤=[25,14,17]

除此之外，我们还可以使用多项式来求解
(3I+P+2P2)(4I+6P+P2)=12I+22P+17P2+13P3+2P4=25+24P+17P2\begin{aligned} &(3\boldsymbol I+\boldsymbol P + 2 \boldsymbol P^2)(4 \boldsymbol I+6\boldsymbol P+\boldsymbol P^2)\\ &= 12 \boldsymbol I + 22 \boldsymbol P + 17 \boldsymbol P^2 + 13 \boldsymbol P^3 + 2 \boldsymbol P^4 \\ & = 25 + 24 \boldsymbol P + 17 \boldsymbol P^2 \end{aligned} (3I+P+2P2)(4I+6P+P2)=12I+22P+17P2+13P3+2P4=25+24P+17P2

因为PN=P\boldsymbol P^N = \boldsymbol PPN=P。

线性卷积

我们以一个线性时不变系统来说明：
r[m]=∑l=1Lhlx[m−l]r[m] = \sum_{l=1}^L h_l x[m - l] r[m]=l=1∑Lhlx[m−l]

因为线性卷积较为常见，我们不做过多分析，直接给出矩阵意义下的线性卷积，令hT=[4,6,1]\boldsymbol h^T = [4,6,1]hT=[4,6,1]，xT=[3,1,2]\boldsymbol x^T = [3,1,2]xT=[3,1,2]，那么
rT=hT∗xT=[4,6,1][312000312000312]=[12,22,17,13,2]\begin{aligned} \boldsymbol r^T &= \boldsymbol h^T * \boldsymbol x^T \\ &= [4,6,1] \left[ \begin{matrix} 3& 1& \begin{matrix} 2& 0& 0\\ \end{matrix}\\ 0& 3& \begin{matrix} 1& 2& 0\\ \end{matrix}\\ 0& 0& \begin{matrix} 3& 1& 2\\ \end{matrix}\\ \end{matrix} \right] \\ & = [12,22,17,13,2] \end{aligned} rT=hT∗xT=[4,6,1]⎣⎡300130200120312⎦⎤=[12,22,17,13,2]

循环卷积和线性卷积（矩阵视角）相关推荐

循环卷积与线性卷积的实现matlab,线性卷积与循环卷积的计算
如果则 N 上式称为循环卷积或圆周卷积注: 为序列的周期化序列: 为的主值序列. 上机编程计算时, 可表示如下: (3) 两个有限长序列的线性卷积序列为点长,序列为点长, 为这两个序 ...
matlab实现线性卷积和循环卷积,仿真实验四循环卷积和线性卷积的实现
实验四循环卷积和线性卷积的实现一.实验目的 1.进一步了解并掌握循环卷积与线性卷积的概念 2.掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法,理解掌握二者的关系二.实例分析与计算实验原理: 两个序列的N ...
数字信号处理 --- 用离散傅里叶变换(循环卷积)实现线性卷积（个人学习笔记）
时域的循环卷积等于频域的离散傅里叶变换,离散傅里叶变换DFT是离散傅里叶级数DFS的一个周期,离散傅里叶级数DFS是对连续时间傅里叶变换CTFT的采样离散傅里叶级数DFS 周期为10的方波信号的傅里 ...
循环卷积和线性卷积以及快速卷积计算
做block AEC 的时候看不懂对w补零,x加入上一帧,fft和ifft计算后舍弃前一半数据的操作.深入调查了一下循环卷积和overlap save. https://www.zhihu.com/q ...
线性卷积、循环卷积、周期卷积的定义、计算方法及三者之间的关系
文章目录前言一.卷积的物理意义及性质 1. 物理意义 2. 卷积性质二.线性卷积定义及计算方法 1. 定义公式 2. 适用范围 3. 计算方法三.循环卷积定义及计算方法 1. 定义公式 2. ...
信号处理--线性卷积与循环卷积
文章目录一.线性卷积 1. 应用背景 2. 定义式 3. 计算方法 3.1 定义式 3.2 作图法 3.3 列表法二.循环卷积 1. 序列的循环移位 2. 循环卷积的定义 3. 用矩阵计算循环卷积 ...
MATLAB GUI设计（线性卷积和循环卷积的比较--笔记）
原创循环卷积代码,转载需注明出处线性卷积与循环卷积的比较实验目的和要求掌握循环卷积和线性卷积的原理,与理论分析结果比较,加深理解循环卷积与线性卷积之间的关系. 实验内容和步骤 1) 已知两序列X ...
线性卷积、周期卷积和循环卷积
线性卷积.周期卷积和循环卷积例题:已知序列x1(n)=[0,2,2,1] (n=0,1,2,3); x2(n)=[1,2,-1,1] (n=0,1,2,3).求解 (1)计算线性卷积y1(n)=x1 ...
基于matlab实现信号的线性卷积与循环卷积
系列文章目录数字信号处理(DSP:Digital Signal Process)是电子通信领域非常重要的研究方向,博主汇总了数字信号处理(DSP)中常用的经典案例分析,主要基于算法分析.MATLAB ...

循环卷积和线性卷积（矩阵视角）

文章目录

循环卷积

循环矩阵（Circulant Matrices）

循环矩阵与循环卷积的关系

线性卷积

循环卷积和线性卷积（矩阵视角）相关推荐

最新文章

热门文章