FPGA视觉从入门到放弃——懒人的支持向量机

支持向量机曾是机器学习领域中的主流方法。针对小样本，现在用起来依然很方便。同时，该方面的工具和教程多得数不清。所以这里引用老师木的话就很合适：“经常，有些事还没做就已经知道它无意义，于是就没做；有些事做不做都知道无意义，还是蠢蠢欲动”。

本篇围绕“用现有的库把自己的代码工作量减到最小”为话题，以比大多教程尽量简单的支持向量机理论和实践为例，讲述软件与硬件(DSP或FPGA等)结合时的偷懒方法。

1. 基本原理 5

(1) 超平面

假设数据集中有ll个样本，每个样本包括属性向量和标签。所以，有样本{(X1,y1)...(Xi,yi),...(Xl,yl)}\lbrace (X^1,y^1)...(X^i,y^i),...(X^l,y^l) \rbrace，ll为样本的个数，yi∈{−1,1}y^i\in \lbrace -1,1\rbrace为标签，第ii个样本Xi=[xi1,...,xin]X^{i}=[x^i_1,...,x^i_n]，nn为每个样本的属性数目。

超平面的方程为：

H=wTX+b=w0x0+w1x1+...+wnxn+b=0

H=w^TX+b=w_0x_0+w_1x_1+...+w_nx_n+b=0
其中，ww为nn维权重，b为偏置。

如果数据可分，则存在很多可分的超平面。贴着正负样本时的边缘超平面为H=±1H=\pm1，中间超平面为H=0H=0。最优的超平面会使边缘超平面和中间超平面之间的间隔最大。

(2) 优化

第i个样本的属性向量XiX^i距离超平面HH的距离为：

d(Xi,H)=wTXi||w||

d(X^i,H)=\frac{w^TX^i}{||w||}

最大化间隔等价于优化问题：

minw,b12||w||2s.t.yi(wTXi+b)≥1,i=1,...,l

\begin{align} &\min_{w,b} \frac{1}{2}||w||^2 \\&s.t.y_i(w^TX^i+b)\ge1, i=1,...,l \end{align}

超平面H=±1H=\pm1之间的距离为2||w||\frac{2}{||w||}，所以最大化间隔等价于最小化||w||22\frac{||w||^2}{2}。
当yi=1y_i=1时，wTXi+b≥1w^TX^i+b\ge1，xix^i位于H=1H=1超平面的上侧；
当yi=−1y_i=-1时，wTXi+b≤1w^TX^i+b\le1，xix^i位于H=−1H=-1超平面的下侧。

(3) 二次规划函数

X = quadprog(H,f,A,c)

二次规划函数求解关于向量X的二次规划问题：

minX12XTHX+fXs.t.AX≤c

\begin{align} &\min_{X}\frac{1}{2}X^THX+fX \\&s.t.AX\le c \end{align}

X仅表示二次规划要求解的项，与SVM中的样本数据没有关系。

(4) 编码优化问题

a. 目标函数

12wTw=12(wb)(I000)(wb)=12(w1w2...wnb)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜100000100000...000001000000⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜w1w2...wnb⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

\begin{align} &\frac{1}{2}w^Tw \\&=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}w&b\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}I&0\\0&0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}w\\b\end{matrix}\right) \\&=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}w_1&w_2...&w_n&b\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&...&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}w_1\\w_2\\...\\w_n\\b\end{matrix}\right) \end{align}

b. 约束条件

⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1(wTx1+b)y2(wTx2+b)...yl(wTxl+b)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜y10000y20000...0000yl⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜x11x21...xl1............x1nx2n...xln1111⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜w1...wnb⎞⎠⎟⎟⎟≥⎛⎝⎜⎜⎜1...11⎞⎠⎟⎟⎟

\begin{align} &\left(\begin{matrix}y_1(w^Tx^1+b)\\y_2(w^Tx^2+b)\\...\\y_l(w^Tx^l+b)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}y_1&0&0&0\\0&y_2&0&0\\0&0&...&0\\0&0&0&y_l\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1^1&...&x_n^1&1\\x_1^2&...&x_n^2&1\\...&...&...&1\\x_1^l&...&x_n^l&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w_1\\...\\w_n\\b\end{matrix}\right)\ge\left(\begin{matrix}1\\...\\1\\1\end{matrix}\right) \end{align}

2. 实现

(1) Matlab 2维版

这里把原优化问题作为二次规划问题求解。同理，也可以对它的对偶问题按二次规划问题求解。然而，该问题的规模正比于训练样本数，为避开高维数据计算的巨大开销，通常采用SMO方法[见周志华, “机器学习”, pp. 124]。线性可分时，二次规划的解与工具箱的解 1相似。

clc;
clear;
close all;%%load fisheririsX = meas(1:100,[2,3]);
group = species(1:100);
[groupIdx, groupStr] = grp2idx(group);y = (groupIdx==1) * 2 - 1;[l,n] = size(X);H = eye(n + 1);
H(n + 1,n + 1) = 0;
f = zeros(n + 1,1);Z = [X ones(l,1)];
A = -diag(y) * Z;
c = -1 * ones(l,1);% 二次规划求解
w = quadprog(H,f,A,c);% 调整横轴范围，便于与工具箱效果比较
X1 = [2:5];
w1 = w(1,1);
w2 = w(2,1);
b = w(3,1);% 可分超平面：w1x1+w2x2+b=0 -> x2=-(w1*x1+b)/w2
Y1 = -(w1 * X1 + b) / w2;XPos = X(find(y==1),:);
XNeg = X(find(y==-1),:);% 超平面上界：w1x1+w2x2+b=1
YUP = (1 - w1 * X1 - b) / w2;
% 超平面上界：w1x1+w2x2+b=-1
YLOW = (-1 - w1 * X1 - b) / w2;figure(1);
set(gcf,'Color',[1,1,1]);
subplot(1,2,1);
plot(XPos(:,1),XPos(:,2),'r+'); hold on;
plot(XNeg(:,1),XNeg(:,2),'g*'); hold on;
plot(X1,Y1,'k-'); hold on;
plot(X1,YUP,'m:'); hold on;
plot(X1,YLOW,'m:');
legend('setosa','versicolor','hyperplane','upper margin','lower margin');% 调整纵轴范围，便于与工具箱效果比较
ylim([1,5.5]);title('svm trained with quadratic programming');
xlabel('sepal length');
ylabel('sepal width');
grid on;subplot(1,2,2);
svmStruct = svmtrain(X,group,'ShowPlot',true);
title('svm trained with matlab toolbox');
xlabel('sepal length');
ylabel('sepal width');
grid on;

注：这里二次规划求解要求训练样本线性可分，否则找不到可行解。

(2) Matlab n维核函数版

工具箱自带预测器用到的参数 2有：

Alpha(α\alpha)——拉格朗日乘子
Beta(β\beta)——线性预测器的系数
Bias(bb)——偏置
KernelParameters.Scale(ss)——缩放因子

如果KernelParameters.Function为”Linear“，则输出为：

f(x)=(xs)′β+b

f(x)=\left(\frac{x}{s}\right)'\beta+b

更一般地，带核函数的预测输出可表示为：

f(x)=∑i=1mαiyiK(x,xi)+b

f(x)=\sum^{m}_{i=1}\alpha_iy_iK(x,x_i)+b
其中， yiy_i为第ii个支持向量xix_i的标签，mm为训练得到的支持向量的总数，K(x,xi)K(x,x_i)为测试样本xx与xix_i间的核函数输出。

clc;
clear;
close all;
%%load fisheririsX = meas(1:100,:);
group = species(1:100);
[groupIdx, groupStr] = grp2idx(group);Y = (groupIdx==2) * 2 - 1;XPos = X(find(Y==1),:);
XNeg = X(find(Y==-1),:);
%%cv = cvpartition(Y,'k',10);
err = zeros(cv.NumTestSets,1);for i = 1:cv.NumTestSetstrainIdx = cv.training(i);testIdx = cv.test(i);Xtrain = X(trainIdx,:);Ytrain = Y(trainIdx);Xtest = X(testIdx,:);Ytest = Y(testIdx);%% SVM 训练clf = fitcsvm(Xtrain,Ytrain,'KernelFunction','polynomial','ClassNames',[-1,1]);[m,n] = size(clf.SupportVectors);%% SVM 验证% (0) 线性核 'linear'% Ypred = (Xtest / clf.KernelParameters.Scale) * clf.Beta + clf.Bias > 0;Ypred = zeros(length(Xtest),1);for j=1:m% (1) 线性核 'linear'% Kernel = Xtest * clf.SupportVectors(j,:)'; % (2) 高斯核 'rbf'% Kernel = exp(-sum((Xtest - repmat(clf.SupportVectors(j,:),length(Xtest),1)).^2,2));% (3) 多项式核 'polynomial'Kernel = (1 + Xtest * clf.SupportVectors(j,:)').^clf.ModelParameters.KernelPolynomialOrder;Ypred = Ypred + clf.Alpha(j) * clf.SupportVectorLabels(j) * Kernel;endYpred = (Ypred + clf.Bias > 0) * 2 - 1;    err(i) = sum(~strcmp(Ypred,Ytest));
end
cvError = sum(err)/sum(cv.TestSize)
%%figure(1);
set(gcf,'Color',[1,1,1]);
%subplot(1,1,1);
plot(XPos(:,1),XPos(:,2),'ro'); hold on;
plot(XNeg(:,1),XNeg(:,2),'go'); hold on;
plot(Xtest(:,1),Xtest(:,2),'bo'); hold on;
plot(clf.SupportVectors(:,1),clf.SupportVectors(:,2),'k^'); hold on;[l,n] = size(Xtest);for i=1:lif Ypred(i)==1plot(Xtest(i,1),Xtest(i,2),'r*'); hold on;elseplot(Xtest(i,1),Xtest(i,2),'g*'); hold on;        end
endtitle('prediction with svm classifier');
xlabel('sepal length');
ylabel('sepal width');
grid on;

10折交叉验证 3后最后1折多项式核 4的预测结果如下图。其中三角形为支持向量，蓝色圆圈为验证样本，星型颜色和周围样本的颜色一致则分类正确。

(3) 转换

Matlab离线训练后得到分类器clf。线性核与高斯核预测时，保存支持向量即可；多项式核预测时，另外保存多项式的阶数。根据需要对预测部分转换成项目约束的语言即可。