学习SVM（四）理解SVM中的支持向量（Support Vector）

学习SVM（一） SVM模型训练与分类的OpenCV实现
学习SVM（二）如何理解支持向量机的最大分类间隔
学习SVM（三）理解SVM中的对偶问题
学习SVM（四）理解SVM中的支持向量（Support Vector）
学习SVM（五）理解线性SVM的松弛因子

我们在开始接触SVM时肯定听到过类似这样的话，决定决策边界的数据叫做支持向量，它决定了margin到底是多少，而max margin更远的点，其实有没有无所谓。
然后一般会配一张图说明一下哪些是支持向量（Support Vector），这个图在之前的学习SVM（二）如何理解支持向量机的最大分类间隔里面就有，这里不在重复贴了。

但是问题的关键是，这些Support Vector是怎么被确定的呢？
在学习SVM（三）理解SVM中的对偶问题计算得到新的优化目标：

注意这里的约束条件有n+1个，之后只需要根据Data（x），Label（y）求解出满足条件的拉格朗日系数a，并将a带回求得w和b，于是就有了最后的决策边界。（w，b，x，y，a都是向量）

注意：在上面b的公式中，i=1,2,…,n。但是j却没有给值，这是因为j是任意一个支持向量都可以。

在这里对w和b的公式的推导做一个简短说明，w是通过拉格朗日求偏导后推出的；在学习SVM（二）如何理解支持向量机的最大分类间隔中我们知道最大间隔为：

那么支持向量到决策边界的距离为：
，
同时根据点到直线的距离公式有：

超平面（w,b）能够将训练样本正确分类，即对于，因此去掉绝对值可以得到关于b的公式。

而非支持向量的数据就在求解参数a，w，b的过程中，前面的参数w求得的结果会为0，这样就满足了之前的说法，只有支持向量在影响着决策边界的确定，举个例子：

上图中有3个点，x1(3,3)，x2(4,3)，x3(1,1)，对应的：y1=y2=1，y3=-1。
很显然x1和x3是两个支持向量，在决策平面的两侧，我们带入到上面的公式求解一下：
由于两个求和公式（n=3），所以括号里面的是项会有9个，可以理解为两个for循环嵌套啊（哈~哈~），但是显然这9项里面是有重复的，因为a1*a2 = a2*a1，所以最后会剩下6项：
a1*a1，a2*a2，a3*a3，2*a1*a3，2*a1*a2，2*a2*a3，举个例子确定前面的系数：
C*a1*a2 = [(x1)(x2)*y1*y2]a1*a2
C=2*[(3,3)(4,3)](1)(1)=2(12+9)=42

所以最后的结果如下：

由约束条件得到：a3=a1+a2，带入到min中可以求得一个关于a1
和a2的函数：

要求它的最小值，求偏导啊~

最后求解得到：
a1 = 1.5
a2 = -1

而a2 = -1的点不满于a2>0的条件，所以最小值在边界上取得。边界情况要么是a1=0，要么是a2=0，于是：
a1=0时，我们应该把a1的值往s对a2的偏导里面带入：
a2=2/13 （满足条件）
此时：

a2=0时，我们应该把a2的值往s对a1的偏导里面带入：
a1=1/4 （满足条件）
此时：

显然后面的结果更小，所以：
a1 = 1/4
a2 = 0
a3 = 1/4

到这里就能验证上面的结论了，a1和a3是x1和x3的系数，x1和x3是支持向量，而x2不是，所以前面的系数是0。因为根据w求解公式，a2=0，所以x2对w权的最后取值没有影响，所以x2不是支持向量。

最后一步，带到上面的式子中求w，b：

w1=w2=0.5
对于支持向量x1,计算b的值：

对于非支持向量x2,计算b的值：

显然，由于b的公式由支持向量与决策平面的距离推导得到，所以x2的计算结果是错误的。
于是得到最后的决策边界为：
0.5x1+0.5x2+2=0