一、简介

动态规划主要任务，确定状态方程（fn 和 fn-1、fn-2），和边界条件（n=1,2），联想高中递推问题。
线性动态规划的主要特点是状态的推导是按照问题规模 i 从小到大依次推过去的，较大规模的问题的解依赖较小规模的问题的解。

这里问题规模为 i 的含义是考虑前 i 个元素 [0…i] 时问题的解。

状态定义：
dp[n] = [0…n] 上问题的解
状态转移：
dp[n] = f(dp[n-1], …, dp[0])
从以上状态定义和状态转移可以看出，大规模问题的状态只与较小规模的问题有关，而问题规模完全用一个变量 i 表示，i 的大小表示了问题规模的大小，因此从小到大推 i 直至推到 n，就得到了大规模问题的解，这就是线性动态规划的过程。

按照问题的输入格式，线性动态规划解决的问题主要是单串，双串，矩阵上的问题，因为在单串，双串，矩阵上问题规模可以完全用位置表示，并且位置的大小就是问题规模的大小。因此从前往后推位置就相当于从小到大推问题规模。

线性动态规划是动态规划中最基本的一类。问题的形式、dp 状态和方程的设计、以及与其它算法的结合上面变化很多。按照 dp 方程中各个维度的含义，可以大致总结出几个主流的问题类型，见后面的小节。除此之外还有很多没有总结进来的变种问题，小众问题，和困难问题，这些问题的解法更多地需要结合自己的做题经验去积累，除此之外，常见的，主流的问题和解法都可以总结成下面的四个小类别。

单串

单串 dp[i] 线性动态规划最简单的一类问题，输入是一个串，主要有两种方式：

依赖比 i 小的 O(1) 个子问题
dp[n]只与常数个小规模子问题有关，状态的推导过程 dp[i] = f(dp[i - 1], dp[i - 2], ...)
依赖比 i 小的 O(n) 个子问题
dp[n]与此前的更小规模的所有子问题 dp[n - 1], dp[n - 2], ..., dp[1]都可能有关系。
状态推导过程dp[i] = f(dp[i - 1], dp[i - 2], ..., dp[0])

此外，dp有多重形式，dp[i], 或者dp[i][j]、dp[i][j][k]

最大子序和

问题分解：用 f ( i ) {f(i)} f(i)代表以第 ii 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：
max ⁡ 0 ≤ i ≤ n − 1 { f ( i ) } \max _{0 \leq i \leq n-1}\{f(i)\} 0≤i≤n−1max{f(i)}
状态转移方程：
dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1])
或者
dp[i] = nums[i] + max(dp[i - 1], 0)
合并子问题求得最终解：
max_sum = max(dp)

class Solution:def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)dp = [0]*ndp[0]=nums[0]for i in range(1,n):dp[i] = nums[i] + max(dp[i - 1], 0)#dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1])return max(dp)

最长上升子序列（LIS算法，Longes Increasing Subsequence）

问题分解：求f(i)，则需要求f(i-1)中最长子序列（满足子序列最大值小于nums[i]）+1
状态转移方程：

for j in range(i): #这就是依赖比 i 小的 O(n) 个子问题，即dp[i]与dp[0~i-1]都有关if nums[i]>nums[j]:# 满足子序列+nums[i]仍然能构成递增序列dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1) # 经历了循环，dp[i]一直在变化

从子问题最优解获取最终最优解：max（dp）

class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:if not nums:return 0n = len(nums)dp = [1]*n #考虑只含nums[i]的序列，这个序列长度为1for i in range(1,n):for j in range(i): #这就是依赖比 i 小的 O(n) 个子问题，即dp[i]与dp[0~i-1]都有关if nums[i]>nums[j]:dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1) # 经历了循环，dp[i]一直在变化return max(dp)

最长递增子序列的个数

class Solution:def findNumberOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:if nums ==[]:return(0)n = len(nums)length = [1]*ncounter = [1]*nfor i in range(1,n):for j in range(i):if nums[j]<nums[i]:if length[j]+1 > length[i]:# 代表第一次遇到最长子序列length[i] = 1+length[j]counter[i] = counter[j]elif length[j]+1 == length[i]:# 代表已经遇到过最长子序列counter[i] = counter[i]+counter[j]tmp = max(length)res = sum([counter[i] for i in range(n) if length[i]==tmp])return(res)

俄罗斯套娃信封

先对宽度 w 进行升序排序，如果遇到 w 相同的情况，则按照高度 h 降序排序。之后把所有的 h 作为一个数组，在这个数组上计算 LIS 的长度就是答案。

画个图理解一下，先对这些数对进行排序：

然后在 h 上寻找最长递增子序列：

这个子序列就是最优的嵌套方案。

这个解法的关键在于，对于宽度 w 相同的数对，要对其高度 h 进行降序排序。因为两个宽度相同的信封不能相互包含的，逆序排序保证在 w 相同的数对中最多只选取一个。

from bisect import bisect_leftclass Solution:def maxEnvelopes(self, arr: List[List[int]]) -> int:# sort increasing in first dimension and decreasing on secondarr.sort(key=lambda x: (x[0], -x[1]))def lis(nums):dp = []for i in range(len(nums)):idx = bisect_left(dp, nums[i])if idx == len(dp):dp.append(nums[i])else:dp[idx] = nums[i]return len(dp)# extract the second dimension and run the LISreturn lis([i[1] for i in arr])

乘积最大子数组

我们只要记录前i的最小值, 和最大值, 那么 dp[i] = max(nums[i] * pre_max, nums[i] * pre_min, nums[i]), 这里0 不需要单独考虑, 因为当相乘不管最大值和最小值,都会置0

class Solution:def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:if not nums: return res = nums[0]pre_max = nums[0]pre_min = nums[0]for num in nums[1:]:cur_max = max(pre_max * num, pre_min * num, num)cur_min = min(pre_max * num, pre_min * num, num)res = max(res, cur_max)pre_max = cur_maxpre_min = cur_minreturn res

按摩师（使用多个dp表）

class Solution:def massage(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)if n == 0:return 0dp0, dp1 = 0, nums[0]for i in range(1, n):tdp0 = max(dp0, dp1)   # 计算 dp[i][0]tdp1 = dp0 + nums[i]   # 计算 dp[i][1]dp0, dp1 = tdp0, tdp1return max(dp0, dp1)

使用最小花费爬楼梯（倒着动态规划）

计算花费 f[i] 有一个清楚的递归关系：f[i] = cost[i] + min(f[i+1], f[i+2])。我们可以使用动态规划来实现。

当我们要计算 f[i] 时，要先计算出 f[i+1] 和 f[i+2]。所以我们应该从后往前计算 f。
在第 i 步，让 f1，f2 为 f[i+1]，f[i+2] 的旧值，并将其更新为f[i]，f[i+1] 的新值。当我们从后遍历 i 时，我们会保持这些更新。在最后答案是 min(f1, f2)。

class Solution(object):def minCostClimbingStairs(self, cost):f1 = f2 = 0for x in reversed(cost):f1, f2 = x + min(f1, f2), f1return min(f1, f2)

难-环形子组数的最大和

难-最大子矩阵

难-矩形区域不超过 K 的最大数值和

双串

有两个输入从串，长度分别为 m, n，此时子问题需要用 i, j 两个变量表示，分别代表第一个串和第二个串考虑的位置 dp[i][j]:=第一串考虑[0…i]，第二串考虑[0…j]时，原问题的解。这种形式的线性 DP 的代码常见写法

for i = 1..mfor j = 1..ndp[i][j] = f(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1])

时间复杂度 O(mn)O(mn)，空间复杂度 O(mn)O(mn)

最长公共子序列（LCS算法，Longest Common Subsequence）

图解

典型的二维动态规划

矩阵

线性动态规划中矩阵 dp[i][j] 的问题，状态的推导方向以及推导公式与双串 dp[i][j] 相同，但是物理意义不一样，且求 dp[i][j] 时所需的子问题的变化相对更多。

最小路径和

无串

线性动态规划有一类问题是没有显式的数组或字符串的。但在计算中依然可以分成若干子问题，且有动态规划的三条性质。因此也可以用动态规划来解。

只有两个键的键盘
丑数 II
完全平方数
整数拆分

二、总结

动态规划中最重要的三个概念：最有子结构，重复子问题，无后效性。

最优子结构：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构。
无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
重复子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

线性动态规划是动态规划中变化最多的一类。

首先线性动态规划针对的问题是最常见的数组，字符串，矩阵等，这三种数据结构本身就是线性的，因此出现这些类型的输入的时候，如果要用到动态规划，首先考虑线性动态规划就很合理了，因此很多问题不论最后正解是不是线性动态规划，都会首先想一下线性动态规划是否可行。

单个数组或字符串上设计一维状态，两个数组或字符串上设计两维状态，以及矩阵上设计两维状态等等，同时以上三种情况的状态设计都有可能再加上额外的指标的状态，就是前面例题中的 k，这里面变化就很多了，比如有的题目在 k 这一维上要使用二分，贪心的策略，有的题目需要 DP 状态与数据结构配合来解决问题。

除此之外还有一类问题没有显式的数组，字符串，但是在求解的时候依然满足前面提到的动态规划三条基本概念，可以用动态规划求解，这种问题通常也是线性动态规划。

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