分数傅立叶变换的性质

主要内容：

回顾——分数傅立叶变换基于积分核形式的推导

当P＝1的时候，可以把分数傅里叶变换的积分核退化为傅里叶变换的积分核形式。

在坐标系当中，当旋转角度到90°的时候就退化为傅里叶变换，当旋转角度逐渐趋近于0的时候，能不能退化为时域呢？如果可以，那么傅里叶变换就具有时域统一的特性。

首先对分数傅立叶变换的系数进行处理，我们想得到的表达式如下图所示，进行这样的处理有助于后期的推导

上述的过程是进行系数的简化，进行完在看下一步的操作：

当a趋近于0 的时候，所对应的相关的式子如下

如果分数傅里叶变换具有视频统一性的话，拿最后的结果是：

这里面我们给出了一个极限的表达形式：

经过上面的代换过程最终得到分数傅里叶变换可以退化到时域，也就说明分数傅里叶变换具有时频统一性。

直观地表示就是分数傅里叶变换积分核的定义，当 $\alpha$ 趋近于0 的时候，分数傅里叶变换就可以退化到时域。

当 $\alpha$ ＝Π/2时，旋转角度是90°的时候，对应到的是频域，当 $\alpha$ ＝0的时候，对应的是时域。所以分数傅立叶变换既包含时域又包含频域。具有视频统一性。

分数傅里叶变换的可加性

对于分数傅立叶变换基于积分核形式的定义，就是将 $F^{\beta }$ 作用在函数f(t)上，对于这个结果在做一个 $F^{\alpha }$ 的分数傅里叶变换，最后的结果就等价于在f(t)上直接作用一个 $F^{\alpha +\beta }$ 的分数傅立叶变换。

从上图可以看出对函数f(t)先做一个 $F^{\beta }$ 的变换，到达s域，然后再做一个 $F^{\alpha }$ 的变换到达u域，这两部的结果就相当于直接给函数f(t)做了一个 $F^{\alpha +\beta }$ 的分数傅立叶变换。这就是分数傅立叶可加性的直观理解。

式子中带有 $\beta$ 是先进行了 $F^{\beta }$ 的分数傅里叶变换，剩下的带有 $\alpha$ 是进行了 $F^{\alpha }$ 的变换。我们想证明的是从t转换到u,也就是相当于旋转了 $\alpha +\beta$ 角度的分数傅里叶变换，对应的变量是t和u, 在后续的证明当中就是想办法把s去掉。

将上面的式子进行简化：

带有s的项放在一起，带有t的项放在一起，带有u^2的项是要保留的，因为想保留的是t。

对于分数傅立叶变换可加性的证明就是将s去掉，在处理之前先看一个结论：

通过刚才的计算就可以把带有s项的积分表达式化简成不带有积分的表达式，并且s项已经去除了

上面的这个式子已经非常接近于 $F^{\alpha +\beta }$ 的表达式了。

对于其中系数的处理如下：

综上就已经完全证明了分数傅里叶变换的可加性了。

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