第十二届蓝桥杯省赛 C/C++大学B组试题G：砝码称重

试题题目：

本题为编程题第二题
解题思路：
方法一：暴力求解
1、分析
首先利用数组W[N]W[N]W[N]记录NNN块砝码的质量。
模拟放取过程。先取第一块砝码放在天平上，再取第二块砝码，有三种情况选择：(1) 不放；(2) 放左边；(3) 放右边。第二块砝码摆放完成后，就能获得4种质量：(1) 不放砝码时：原质量；(2) 砝码放左边时：原质量减去第二块砝码质量的绝对值；(3) 砝码放右边时：原质量加上第二块砝码总质量；(4) 第二块砝码本身的质量。
再上一步的基础上，取第三块砝码开始摆放，每种质量下也同样有三种情况。那么再第三块砝码摆放完成后，会得到3x4+1种质量。“+1”的原因是第三块砝码本身质量。
依次循环类推，摆放完最后一块砝码后，将获得(3N−1)/2(3^N-1)/2(3N−1)/2种质量。但是当NNN的数很大时，质量种数也会非常庞大。所以在每取完一个砝码得出质量后，对质量数组进行去重处理，取下一个砝码时计算质量时不会被重复计算。

2、代码编写
(1)、数组W[N]W[N]W[N]记录NNN块砝码的质量；
(2)、循环取砝码，用二维数组V[i][j]V[i][j]V[i][j]记录放第i块砝码的质量；
α\alphaα、 V[i][k++]V[i][k++]V[i][k++] = V[i−1][j]V[i-1][j]V[i−1][j] ;
β\betaβ、 V[i][k++]V[i][k++]V[i][k++] = V[i−1][j]V[i-1][j]V[i−1][j] +++ W[i]W[i]W[i] ;
γ\gammaγ、 V[i][k++]V[i][k++]V[i][k++] = V[i−1][j]V[i-1][j]V[i−1][j] −-− W[i]W[i]W[i] ;
δ\deltaδ、 V[i][k++]V[i][k++]V[i][k++] = W[i]W[i]W[i] ;
(3)、去重处理，遍历V[i][j]V[i][j]V[i][j]，使得Value[V[i][j]]=1Value[V[i][j]]=1Value[V[i][j]]=1;
(4)、对V[i][j]V[i][j]V[i][j]重新赋值，使得第i个数组内没有重复值。进入下一次循环，摆放下一个砝码。

个人题解C语言代码如下：

#include<stdio.h>
int N;
int W[105];
int V[105][100006];int main(){int i,j,times = 1;scanf("%d",&N);for(i=0;i<N;i++){scanf("%d",&W[i]);}int Wight=W[0];V[0][0] =W[0]; for(i=1;i<N;i++){Wight = Wight+W[i];int z,t=0,k = 0;    int Value[Wight+3];for(z=0;z<Wight+3;z++){Value[z]=0;}for(j=0;j<times;j++){V[i][k++] = V[i-1][j];V[i][k++] = V[i-1][j] + W[i];V[i][k++] = V[i-1][j] - W[i];}V[i][k] = W[i];for(z=0;z<k+1;z++){                  //去重处理 if(V[i][z]<0){Value[0-V[i][z]]=1;} else Value[V[i][z]]=1;}for(z=1;z<Wight+1;z++){if(Value[z]==1){V[i][t++]=z;}}times = t;}printf("%d",times);return 0;
}

优化代码，并使用算法提高代码运行速度与质量，采用动态规划思想。将上述代码中，不在统计计算出的质量，且不用数组Value[]Value[]Value[]中间转换的方法来去重，而是直接利用下标作为质量，直接为二维数组赋值，1或者0；1表示可以表示出下标的质量，反之0不能表示。

方法二：动态规划
1、思考
看到样例说明中有这种参差不齐感觉的时候，想到的必然是使用算法来解决问题了，当然使用暴力求解也是可以的。对于砝码称重问题，考虑放砝码还是不放砝码，想到的是“““放还是不放”””，“““取还是不取”””等类似问题，所以使用的动态规划算法。
2、分析
动态规划问题首先要确定状态，再确定状态转移方程，然后考虑边界初始化。

(1)、状态：dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示前iii个砝码能否表示出质量jjj，能则变量值为111，不能则为000。

(2)、状态转移方程：dp[i][j]=dp[i][j+a[i]]=dp[i][j−a[i]]=1dp[i][j] =dp[i][j+a[i]]=dp[i][j-a[i]]= 1dp[i][j]=dp[i][j+a[i]]=dp[i][j−a[i]]=1
需要首先判断：前 i−1i-1i−1 个砝码都能否表示出质量jjj 。
若不能，那么第iii个砝码放在哪里都不合理，没有这个砝码都不能表出质量，再放一个该砝码，更不能确定前iii个砝码能表示出来的质量；
若能，那么前iii个砝码也一定能够表示出质量jjj。则第iii个砝码也能放或不放，在这个基础之上在分别讨论第iii个砝码放在左边还是放右边，讨论情况如下：
α\alphaα. 不放第iii个砝码。那前i−1i-1i−1能表示出质量jjj，前iii个砝码也能表示出质量jjj：dp[i][j]=1dp[i][j]=1dp[i][j]=1；
β\betaβ. 放第iii个砝码，在右侧。那前i−1i-1i−1能表示出质量jjj，前iii个砝码也能表示出质量j+w[i]j+w[i]j+w[i]：dp[i][j+w[i]]=1dp[i][j+w[i]]=1dp[i][j+w[i]]=1；
γ\gammaγ. 放第iii个砝码，在左侧。那前i−1i-1i−1能表示出质量jjj，前iii个砝码也能表示出质量j+w[i]j+w[i]j+w[i]：dp[i][j−w[i]]=1dp[i][j-w[i]]=1dp[i][j−w[i]]=1；注意j>w[i]j>w[i]j>w[i]时j−w[i]j-w[i]j−w[i]；j<w[i]j<w[i]j<w[i]时w[i]−jw[i]-jw[i]−j。
δ\deltaδ. 去除前面的砝码，放下第iii个砝码，即他自身的质量：dp[i][w[i]]=1dp[i][w[i]] = 1dp[i][w[i]]=1 ;

状态转移方程代码片段：

if(dp[i-1][j] == 1){                       // 在上一个砝码摆放后能得出的质量基础上。讨论三种情况dp[i][j] = 1;                      // 不放砝码。dp[i][j + W[i]] = 1;               // 把第i个砝码放在右边  就能表示出j+a[i]的重量 if(j-W[i]<0){dp[i][W[i] - j] = 1;} // 把第i个砝码放在左边  就能表示出|j-a[i]|的重量 else{        dp[i][j - W[i]] = 1;}
}

(3)、边界初始化
前iii个砝码一定可以表示出质量w[i]w[i]w[i]，即dp[i][w[z]]=1dp[i][w[z]]=1dp[i][w[z]]=1；

个人题解C语言代码如下：

#include<stdio.h>
int N;
int W[105];
int dp[105][100006];
int main(){int i,j; scanf("%d",&N);for(i=0;i<N;i++){              //输入scanf("%d",&W[i]);}int Wight=W[0]; dp[0][W[0]] = 1;               //边界for(i=1;i<N;i++){              //核心Wight = Wight+W[i];  for(j=1;j<Wight+1;j++){if(dp[i-1][j] == 1){dp[i][j] = 1;dp[i][j + W[i]] = 1;if(j-W[i]<0){dp[i][W[i] - j] = 1;}else{        dp[i][j - W[i]] = 1;}}}dp[i][W[i]] = 1 ;}int ans=0;for(j=1;j<Wight+1;j++){       //统计if(dp[N-1][j] == 1){ans++;}}printf("%d",ans);return 0;
}

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