引入时间轴：动态图模型的共性与特征

动态图模型的共性特征

从这一篇博客开始，跟刘总来关注有向图模型，也就是贝叶斯网络模型中的一组典型案例——隐马尔可夫模型、卡尔曼滤波器和粒子滤波，这三个有向图模型都有一个统一的名字——动态图模型，它们拥有如下的通用概率图表达形式：

图1 动态图模型通用概率图形式

我们明显可以发现，在上面的概率图中有几个很重要的要素：

第一个：在这个模型中，我们拥有观测变量 X，以及隐藏变量 Z，代表了隐含状态；
第二个：就是可以看出这个模型中明显包含了一条时间轴。

很显然，隐马尔可夫模型、卡尔曼滤波器和粒子滤波这三种具体模型承袭于动态图模型，那么它们显然都具备动态图模型的两个共同假设。

一个是基于隐变量序列 Z的，齐次马尔科夫假设：即 Zt+1 的取值只与 Zt 有关，而与 {Z1,Z2,…,Zt−1}的各自取值均无关联。

p(Zt+1|Zt)=p(Zt+1|Zt,Zt−1,Zt−2,…,Z1)

另一个是基于同一组观测变量 Xt和隐含变量 Zt 的关系，即观测独立性假设：观测变量 Xt 的取值只与隐含变量 Zt有关，而与其他的观测变量、隐变量的取值均无关系。

p(Xt|Zt)=p(Xt|Z1,Z2,…,ZT,X1,…,Xt−1,Xt+1,…,XT)

几种模型各自的区别

这两个假设是这三个模型的共性特征，那么它们的区别在哪呢？就在于观测变量 X
和隐藏变量 Z各自的变量分布形式，以及变量之间的关系上，这里我们先简要地说一下，具体会在各自模型介绍的章节中进行详细展开。

对于隐马尔可夫模型模型而言，要求隐变量必须是离散型随机变量，观测变量可以是离散的也可以是连续型的，相邻隐含变量 Zt和 Zt−1 之间的转移过程以及隐含变量 Zt 到观测变量 Xt输出过程都遵循状态转移矩阵中的概率约束。

对于卡尔曼滤波器而言，情况就有所不同，隐含变量 Z和观测变量 X 都是连续型随机变量，并且都符合高斯分布。同时 Zt 和 Zt−1 之间的关系以及隐含变量 Zt 到观测变量 Xt的关系都是符合带有高斯噪声的线性关系。

而粒子滤波则具备更为一般性的情况，即隐含变量 Z和观测变量 X均不需要服从高斯分布，并且它们之间也不需要满足线性关系。

这里的文字性描述，大家看了肯定会感动非常抽象晦涩，不要着急，我们的目的只是想在动态图模型的开篇，提纲挈领地让大家对这三类具体模型有一个整体认知，有一个模糊的印象之后，大家在后面具体内容的学习过程中，目的性会更强一些。

动态图模型的重点问题

那么，我们在利用动态图模型的过程中，一般都会尝试去解决哪些问题呢？

第一类大问题我们称之为学习（learning）：比如在隐马尔科夫模型中，我们会通过模型的观测值 X，利用 EM 方法去迭代探索模型的参数：初始状态分布向量 π，状态转移矩阵 A 和发射矩阵 B。

第二类大问题我们称之为推断（inference）：但它们本质上都是已知一组观测变量 X
，对我们所感兴趣的后验概率进行估计，但是推断的问题当中又分了很多具体的细类。

在隐马尔可夫模型中，我们比较关心状态解码：

状态解码（decoding）是已知一组观测变量 x1,x2,…xt，去推断最可能对应的一组隐状态 z1,z2,…,zt，实际上就是去估计后验概率 p(z1,z2,…,zt|x1,x2,…,xt) 。

而针对我们的卡尔曼滤波或者粒子滤波主要有下面三类情形。

一种称之为滤波（filtering），它需要去求的后验概率的形式为：p(zt|x1,x2,x3,…,xt)

。

另一种就称之为是平滑（smoothing），它需要去求的后验概率的形式为：p(zt|x1,x2,x3,…,xT)。

滤波和平滑的后验概率形式看上去挺像的，但是有一点本质的区别，如下图所示，滤波是从起始的 t1开始，当得到第 t 时间点的观测变量时，对 t 时刻的隐含变量 Zt 进行估计，所以我们可以看出，滤波的过程是随着时间的进行，动态实时进行的，因此滤波是一个在线过程，而平滑很显然不同，它是获得了所有 T 时间点的观测变量后，对 t 时刻的隐含变量 Zt的概率进行估计。

第三类就是预测类问题（Predict），很显然顾名思义是通过直至当前时刻的观测变量，去预测下一时间点的状态变量 zt+1和观测变量 xt+1，即估计的是下面两类后验概率值：p(zt+1|x1,x2,x3,…,xt) 和 p(xt+1|x1,x2,x3,…,xt)。

至此，我们从整体上对有向图模型中的三种动态图模型实例进行了综述，介绍了它们共有的性质特点和各自不同的特征，当然这一篇博客当中的很多内容，由于没有能够细致地展开，大家可能会感到迷糊，没有关系，随着后面几篇内容的逐步深入，我们会逐一介绍这三类模型。

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