#2708. 黑暗（dark）

题目描述

n个点的无向图，每条边都可能存在，一个图的权值是连通块个数的m次方，求所有可能的图的权值和，答案对998244353取模。

数据范围

T≤1000,n≤30000,m≤15T \le 1000,n \le 30000,m \le 15T≤1000,n≤30000,m≤15

题解

设 hn,ih_{n,i}hn,i 表示 nnn 个点的图有 iii 个连通块的方案数，答案可以写成∑k=1nhn,kkm\sum_{k=1}^nh_{n,k}k^mk=1∑nhn,kkm
化式子，得 ∑k=1nhn,k∑i=1m{im}(ik)i!\sum_{k=1}^nh_{n,k}\sum_{i=1}^m\{_i^m\}(_i^k)i!k=1∑nhn,ki=1∑m{im}(ik)i!
其中 {im}\{_i^m\}{im} 代表第二类斯特林数。将 iii 提前，得∑i=1m{im}i!∑k=1nhn,k(ik)\sum_{i=1}^m\{_i^m\}i!\sum_{k=1}^nh_{n,k}(_i^k)i=1∑m{im}i!k=1∑nhn,k(ik)
设 fn,i=∑k=1nhn,k(ik)f_{n,i}=\sum_{k=1}^nh_{n,k}(_i^k)fn,i=∑k=1nhn,k(ik) ，则上述式子为∑i=1m{im}i!fn,i\sum_{i=1}^m\{_i^m\}i!f_{n,i}i=1∑m{im}i!fn,i
接着我们化简 fn,if_{n,i}fn,i ，可以枚举编号为1的点所在的连通块大小，我们预处理 gig_igi 表示i个点的图是连通的的方案数，这个就是城市规划那题要求的，我们可以得到fn,i=∑k=1n(ik)∑j=1n−k+1(j−1n−1)gjhn−j,k−1f_{n,i}=\sum_{k=1}^n(_i^k)\sum_{j=1}^{n-k+1}(_{j-1}^{n-1})g_jh_{n-j,k-1}fn,i=k=1∑n(ik)j=1∑n−k+1(j−1n−1)gjhn−j,k−1
由组合数的递推式得fn,i=∑j=1n(j−1n−1)gj∑k=1n−j+1((i−1k−1)+(ik−1))hn−j,k−1f_{n,i}=\sum_{j=1}^n(_{j-1}^{n-1})g_j\sum_{k=1}^{n-j+1}((_{i-1}^{k-1})+(_i^{k-1}))h_{n-j,k-1}fn,i=j=1∑n(j−1n−1)gjk=1∑n−j+1((i−1k−1)+(ik−1))hn−j,k−1
用 kkk 取代 k−1k-1k−1 ，得fn,i=∑j=1n(j−1n−1)gj(fn−j,i−1+fn−j,i)f_{n,i}=\sum_{j=1}^n(_{j-1}^{n-1})g_j(f_{n-j,i-1}+f_{n-j,i})fn,i=j=1∑n(j−1n−1)gj(fn−j,i−1+fn−j,i)
于是我们可以得到fi,n=(n−1)!∑j=1ngj(j−1)!fi−1,n−j(n−j)!+gj(j−1)!fi,n−j(n−j)!f_{i,n}=(n-1)!\sum_{j=1}^n\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-1,n-j}}{(n-j)!}+\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i,n-j}}{(n-j)!}fi,n=(n−1)!j=1∑n(j−1)!gj(n−j)!fi−1,n−j+(j−1)!gj(n−j)!fi,n−j
于是我们就可以分治 NttNttNtt 求出 fi(x)f_i(x)fi(x) 效率： O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=16,P=998244353,N=30001,Z=N<<2;
int ans,T,n,m,s[M][M],jc[N],ny[N],g[Z],b[Z],c[Z],d[Z],A[Z],B[Z],f[M][N],t,p,G[2]={3,(P+1)/3},r[Z];
int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
int K(int x,int y){int A=1;for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)if (y&1) A=1ll*A*x%P;return A;
}
void Ntt(int *g,bool o){for (int i=0;i<t;i++)if (i<r[i]) swap(g[i],g[r[i]]);for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1));for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1))for (int w=1,k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P)x=g[j+k],y=1ll*w*g[i+j+k]%P,g[j+k]=X(x+y),g[i+j+k]=X(x-y+P);}if (o)for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++)g[i]=1ll*v*g[i]%P;
}
void pre(int l){for (t=1,p=0;t<l;t<<=1,p++);for (int i=0;i<t;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
void getinv(int *a,int *b,int l){if (l==1){b[0]=K(a[0],P-2);return;}getinv(a,b,(l+1)>>1);for (int i=0;i<l;i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];pre(l+l);Ntt(A,0);Ntt(B,0);for (int i=0;i<t;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P*B[i]%P;Ntt(A,1);for (int i=0;i<l;i++)b[i]=X(X(b[i]+b[i])-A[i]+P);for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
}
void solve(int *a,int l,int r){if (l==r){a[l]=X(a[l]+d[l]);if (l) a[l]=1ll*a[l]*jc[l-1]%P;return;}int mid=(l+r)>>1;solve(a,l,mid);for (int i=0;i<=mid-l;i++) b[i]=1ll*a[l+i]*ny[l+i]%P;for (int i=0;i<r-l;i++) c[i]=1ll*g[i+1]*ny[i]%P;pre(mid-l+1+r-l);Ntt(b,0);Ntt(c,0);for (int i=0;i<t;i++) b[i]=1ll*b[i]*c[i]%P;Ntt(b,1);for (int i=mid+1;i<=r;i++) a[i]=X(a[i]+b[i-l-1]);for (int i=0;i<t;i++) b[i]=c[i]=0;solve(a,mid+1,r);
}
int main(){s[0][0]=1;for (int i=1;i<M;i++)for (int j=1;j<=i;j++)s[i][j]=(s[i-1][j-1]+1ll*s[i-1][j]*j%P)%P;jc[0]=1;for (int i=1;i<N;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;ny[N-1]=K(jc[N-1],P-2);for (int i=N-1;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;for (int i=0;i<N;i++)g[i]=1ll*K(2,(1ll*i*(i-1)/2)%(P-1))*ny[i]%P;getinv(g,b,N);for (int i=0;i<N;i++)g[i]=1ll*K(2,(1ll*i*(i-1)/2)%(P-1))*ny[i-1]%P;pre(N+N);Ntt(g,0);Ntt(b,0);for (int i=0;i<t;i++) g[i]=1ll*g[i]*b[i]%P,b[i]=0;Ntt(g,1);for (int i=1;i<N;i++) g[i]=1ll*g[i]*jc[i-1]%P;for (int i=0;i<M;i++){if (!i){d[0]=g[0]=1;goto out;}for (int j=1;j<N;j++)b[j]=1ll*g[j]*ny[j-1]%P,c[N-j-1]=1ll*f[i-1][N-j-1]*ny[N-j-1]%P;pre(N+N);Ntt(b,0),Ntt(c,0);for (int j=0;j<t;j++)d[j]=1ll*b[j]*c[j]%P,b[j]=c[j]=0;Ntt(d,1);out:;solve(f[i],0,N-1);}for (scanf("%d",&T);T--;){scanf("%d%d",&n,&m);ans=0;for (int i=1;i<=m;i++)ans=X(ans+1ll*s[m][i]*f[i][n]%P*jc[i]%P);printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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