题意

宫水三叶在玩一款游戏。

这是一款对城市进行建设的游戏，游戏里有 n n n 个城市。三叶在任意两个城市上都修了一条普通公路，公路为双向边。

三叶并不满足于普通公路，于是三叶又把所有的连接 ( i , i + 1 ) (i,i+1) (i,i+1) 的普通公路改造成了高速公路。

然而一次经济危机让三叶接近破产。为了减小公路的维修费，三叶决定拆除大部分公路。但是三叶还需要保证图联通，于是三叶决定保留原图的一棵生成树。

通过观察，三叶发现保留高速公路比保留普通公路更有价值，而且这些价值随着高速公路的增多会略快于指数级增加。

形象化的描述，如果三叶保留了 x x x 条高速公路，那么新图的价值为 x ⋅ 2 x x \cdot 2^x x⋅2x 。

虽然最优解很好求，但是三叶喜欢思考。她想知道对于原图的所有生成树，它们的价值的总和是多少。

本题采用捆绑测试。
对于所有数据，满足 1 ≤ n ≤ 5 × 1 0 5 1 \le n \le 5 \times 10^5 1≤n≤5×105 。
每个测试点具体限制见下表。

测试点编号	n n n	分值
1 1 1	≤ 8 \le 8 ≤8	4 4 4
2 2 2	≤ 18 \le 18 ≤18	6 6 6
3 3 3	≤ 80 \le 80 ≤80	13 13 13
4 4 4	≤ 500 \le 500 ≤500	14 14 14
5 5 5	≤ 5000 \le 5000 ≤5000	15 15 15
6 6 6	≤ 5 × 1 0 4 \le 5 \times 10^4 ≤5×104	20 20 20
7 7 7	≤ 5 × 1 0 5 \le 5 \times 10^5 ≤5×105	28 28 28

题解

由于 i i i到 i + 1 i+1 i+1的边是特殊的，先考虑连了一些这种边，则剩下一些联通块。于是这些联通块的生成树个数问题就是经典的prufer计数（并不会）： n m − 2 ∏ i = 1 m s i z e i n^{m-2}\prod_{i=1}^m size_i nm−2∏i=1msizei。由于不能保证剩下的关键边不被选，需要容斥一下算出恰好选 x x x条边的方案数，DP可以做到 O ( n 2 ) O(n^{2}) O(n2)。

考虑生成函数：每新增一个连通块的转移关系为乘上 f ( x ) = ∑ i = 1 ∞ n i x i f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}nix^{i} f(x)=∑i=1∞nixi，至少 ( n − i ) (n-i) (n−i)条关键边的方案即为 f i ( x ) / n 2 f^{i}(x)/n^{2} fi(x)/n2，如果要直接容斥则要求出每一个 f i ( x ) f^{i}(x) fi(x)不太现实。考虑构造一个式子使得恰好选 x x x条关键边的方案的贡献为 x ∗ 2 x x*2^{x} x∗2x，注意到恰好选 x x x条关键边在 f n − i ( x ) f^{n-i}(x) fn−i(x)中记到的次数为 C x , i C_{x,i} Cx,i，如果求出 ∑ ( n − i ) f i ( x ) \sum_{}^{}(n-i)f^{i}(x) ∑(n−i)fi(x)则恰好满足题意。对这个式子求和即可用多项式求逆算出。

再进一步考虑，把 f i ( x ) f^{i}(x) fi(x)化为特征多项式，即可 O ( n ) O(n) O(n)算出第 n n n项的和。

这里需要用到广义二项式定理，即： ( 1 − x ) − n [ x m ] = C ( ( n + m − 1 ) , m ) (1-x)^{-n}[x^{m}]=C((n+m-1),m) (1−x)−n[xm]=C((n+m−1),m)，考虑 ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1−x)−1的多项式为{ 1 , 1 , 1 , . . . 1,1,1,... 1,1,1,...}，这个多项式的 n n n次方考虑组合意义即可。

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