作者：張張張張
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【机器学习系列】之SVM硬间隔和软间隔
【机器学习系列】之SVM核函数和SMO算法
【机器学习系列】之支持向量回归SVR
【机器学习系列】之sklearn实现SVM代码

一、SVM回归模型概述

对于SVM回归模型：给定样本D={(x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xm,ym)},y∈RD=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)\}, y\in RD={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)},y∈R(由于是回归模型，yyy没有类别)，我们的目标是让训练集中的每个点(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)尽量拟合到一个线性模型yi=w⋅ϕ(xi)+by_i=w\cdot\phi(x_i)+byi=w⋅ϕ(xi)+b。

对于一般的回归模型： 通常采用均方差作为损失函数。传统回归模型通常直接基于“模型输出”与“真实输出”之间的差别来计算损失，当切仅当二者完全相同时，损失才为000。

对于SVM回归模型： “支持向量回归（Support Vector Regression）”需要定义一个常量ϵ>0\epsilon>0ϵ>0,ϵ\epsilonϵ为能容忍“模型输出”与“真实输出”之间最多有ϵ\epsilonϵ的偏差。

如果∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ|y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|\leq\epsilon∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ，则完全没有损失；
如果∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≥ϵ|y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|\geq\epsilon∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≥ϵ，则对应的损失为∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣−ϵ|y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|-\epsilon∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣−ϵ

即：仅当f(x)=w⋅ϕ(xi)−bf(x)=w\cdot\phi(x_i)-bf(x)=w⋅ϕ(xi)−b与yyy之间的差别绝对值大于ϵ\epsilonϵ时才计算损失。

如下图所示，这相当于以f(x)f(x)f(x)为中心，构建了一个宽度为2ϵ2\epsilon2ϵ的间隔带，若训练样本落入此间隔带，则认为是被预测正确的。

综上所述，SVM回归模型的损失函数度量为：
err(xi,yi)={0,∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣−ϵ,∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣>ϵerr(x_i,y_i)=\begin{cases}0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|\leq\epsilon\\ |y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|-\epsilon,\qquad\quad|y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|>\epsilon \end{cases}err(xi,yi)={0,∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣−ϵ,∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣>ϵ

二、SVM回归模型目标函数

定义SVM回归模型目标函数为：
min⎵w,b 12∣∣w∣∣2s.t.∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ (i=1,2,⋯ ,m)\underbrace{min}_{w,b}\;\frac{1}{2}||w||^2\\ s.t. \quad|y_i-w\cdot\phi(x_i)-b|\leq\epsilon\;(i = 1,2,\cdots,m)w,bmin21∣∣w∣∣2s.t.∣yi−w⋅ϕ(xi)−b∣≤ϵ(i=1,2,⋯,m)

回归模型也可以对每个样本加入松弛变量，但由于这里s.t.s.t.s.t.处用的是绝对值，实际上是两个不等式，即两边都需要松弛变量，定义松弛变量为ξˇ、ξ^\check{\xi}、\hat{\xi}ξˇ、ξ^，加入松弛变量后的SVM回归模型的损失函数为：
min⎵w,b,ξˇi,ξ^i 12∣∣w∣∣2+C∑i=1m(ξˇi+ξ^i)s.t.−ϵ−ξˇi≤yi−w⋅ϕ(xi)−b≤ϵ+ξ^iξˇi≥0,ξ^i≥0(i=1,2,⋯ ,m)\underbrace{min}_{w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i}\;\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}(\check{\xi}_i+\hat{\xi}_i)\\ s.t.\quad -\epsilon-\check{\xi}_i\leq y_i-w\cdot \phi(x_i)-b\leq\epsilon+\hat{\xi}_i\\ \check{\xi}_i\geq 0,\hat{\xi}_i\geq0\quad(i=1,2,\cdots,m)w,b,ξˇi,ξ^imin21∣∣w∣∣2+Ci=1∑m(ξˇi+ξ^i)s.t.−ϵ−ξˇi≤yi−w⋅ϕ(xi)−b≤ϵ+ξ^iξˇi≥0,ξ^i≥0(i=1,2,⋯,m)

间隔带两侧的松弛程度可有所不同。

同SVM分类模型相似，可以用拉格朗日函数将目标优化哈数变成无约束的形式：

带求目标f(x)=min⎵w,b,ξˇi,ξ^i 12∣∣w∣∣2+C∑i=1m(ξˇi+ξ^i)f(x)=\underbrace{min}_{w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i}\;\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}(\check{\xi}_i+\hat{\xi}_i)f(x)=w,b,ξˇi,ξ^imin21∣∣w∣∣2+C∑i=1m(ξˇi+ξ^i)
不等式约束：
- h1(x)=yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i≤0h_1(x)=y_i-w\cdot\phi(x_i)-b- \epsilon-\hat{\xi}_i\leq0h1(x)=yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i≤0
- h2(x)=w⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi≤0h_2(x)=w\cdot\phi(x_i)+b-y_i- \epsilon-\check{\xi}_i\leq0h2(x)=w⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi≤0
- g1(x)=−ξˇi≤0g_1(x)=-\check{\xi}_i\leq0g1(x)=−ξˇi≤0
- g2(x)=−ξ^i≤0g_2(x)=-\hat{\xi}_i\leq0g2(x)=−ξ^i≤0
拉格朗日乘子：
- α^i=(α^1,α^2,⋯ ,α^m)\hat{\alpha}_i = (\hat{\alpha}_1,\hat{\alpha}_2,\cdots,\hat{\alpha}_m)α^i=(α^1,α^2,⋯,α^m)
- αˇi=(αˇ1,αˇ2,⋯ ,αˇm)\check{\alpha}_i = (\check{\alpha}_1,\check{\alpha}_2,\cdots,\check{\alpha}_m)αˇi=(αˇ1,αˇ2,⋯,αˇm)
- μ^i=(μ^1,μ^2,⋯ ,μ^m)\hat{\mu}_i=(\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\cdots,\hat{\mu}_m)μ^i=(μ^1,μ^2,⋯,μ^m)
- μˇi=(μˇ1,μˇ2,⋯ ,μˇm)\check{\mu}_i=(\check{\mu}_1,\check{\mu}_2,\cdots,\check{\mu}_m)μˇi=(μˇ1,μˇ2,⋯,μˇm)
拉格朗日函数：
L(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)=f(x)+α^ih1(x)+αˇih2(x)+μˇig1(x)+μ^ig2(x)=12∣∣w∣∣2+C∑i=1m(ξˇi+ξ^i)+∑i=1mα^i(yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i)+∑i=1mαˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇ)−∑i=1mμˇiξˇi−∑i=1mμ^iξ^iL(w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i,\check{\alpha}_i,\hat{\alpha}_i,\check{\mu}_i,\hat{\mu}_i)=f(x)+\hat{\alpha}_ih_1(x)+\check{\alpha}_ih_2(x)+\check{\mu}_ig_1(x)+\hat{\mu}_ig_2(x)\\ =\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}(\check{\xi}_i+\hat{\xi}_i)+\sum_{i=1}^{m}\hat{\alpha}_i(y_i-w\cdot\phi(x_i)-b-\epsilon-\hat{\xi}_i)\\ +\sum_{i=1}^{m}\check{\alpha}_i(x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon-\check{\xi})-\sum_{i=1}^{m}\check{\mu}_i\check{\xi}_i-\sum_{i=1}^{m}\hat{\mu}_i\hat{\xi}_iL(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)=f(x)+α^ih1(x)+αˇih2(x)+μˇig1(x)+μ^ig2(x)=21∣∣w∣∣2+Ci=1∑m(ξˇi+ξ^i)+i=1∑mα^i(yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i)+i=1∑mαˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇ)−i=1∑mμˇiξˇi−i=1∑mμ^iξ^i

SVM回归模型原始形式：
min⎵w,b,ξˇi,ξ^imax⎵α^i≥0,αˇi≥0,μ^i≥0,μˇi≥0L(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)\underbrace{min}_{w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i}\quad \underbrace{max}_{\hat{\alpha}_i\geq0,\check{\alpha}_i\geq0,\hat{\mu}_i\geq0,\check{\mu}_i\geq0}L(w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i,\check{\alpha}_i,\hat{\alpha}_i,\check{\mu}_i,\hat{\mu}_i)w,b,ξˇi,ξ^iminα^i≥0,αˇi≥0,μ^i≥0,μˇi≥0maxL(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)

和SVM分类模型一样，这个优目标也满足KKT条件，可以通过拉格朗日对偶将优化问题转化为等价的对偶问题来求解：
max⎵α^i≥0,αˇi≥0,μ^i≥0,μˇi≥0min⎵w,b,ξˇi,ξ^iL(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)\underbrace{max}_{\hat{\alpha}_i\geq0,\check{\alpha}_i\geq0,\hat{\mu}_i\geq0,\check{\mu}_i\geq0}\quad \underbrace{min}_{w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i}L(w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i,\check{\alpha}_i,\hat{\alpha}_i,\check{\mu}_i,\hat{\mu}_i)α^i≥0,αˇi≥0,μ^i≥0,μˇi≥0maxw,b,ξˇi,ξ^iminL(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)
可以先求优化函数对于w,b,ξˇi,ξ^iw,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_iw,b,ξˇi,ξ^i的极小值，接着再求拉格朗日乘子α^i,αˇi,μ^i,μˇi\hat{\alpha}_i,\check{\alpha}_i,\hat{\mu}_i,\check{\mu}_iα^i,αˇi,μ^i,μˇi的极大值。

三、SVM回归模型目标函数求解

首先来求优化函数对于w,b,ξˇi,ξ^iw,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_iw,b,ξˇi,ξ^i的极小值，这个可以通过对LLL求偏导数求得：
∂L∂w=0 ⟹ w=∑i=1m(α^i−αˇi)ϕ(xi)∂L∂b=0 ⟹ ∑i=1m(α^i−αˇi)=0∂L∂ξˇi=0 ⟹ C=αˇi+μˇi∂L∂ξ^i=0 ⟹ C=α^i+μ^i\frac{\partial L}{\partial w}=0\implies w=\sum_{i=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)\phi(x_i)\\[1ex] \frac{\partial L}{\partial b}=0\implies\sum_{i=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)=0\\[1ex] \frac{\partial L}{\partial \check{\xi}_i}=0\implies C=\check{\alpha}_i+\check{\mu}_i\\[1ex] \frac{\partial L}{\partial \hat{\xi}_i}=0\implies C=\hat{\alpha}_i+\hat{\mu}_i∂w∂L=0⟹w=i=1∑m(α^i−αˇi)ϕ(xi)∂b∂L=0⟹i=1∑m(α^i−αˇi)=0∂ξˇi∂L=0⟹C=αˇi+μˇi∂ξ^i∂L=0⟹C=α^i+μ^i

将上述4个式子带入L(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)L(w,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_i,\check{\alpha}_i,\hat{\alpha}_i,\check{\mu}_i,\hat{\mu}_i)L(w,b,ξˇi,ξ^i,αˇi,α^i,μˇi,μ^i)，消去w,b,ξˇi,ξ^iw,b,\check{\xi}_i,\hat{\xi}_iw,b,ξˇi,ξ^i。
max⎵αˇi,α^i∑i=1m(yi(α^i−αˇi)−ϵ(α^i+αˇi))−12∑i=1m∑j=1m(α^i−αˇi)(α^j−αˇj)κijs.t.∑i=1m(α^i−αˇi)=00<αiˇ<C(i=1,2,⋯ ,m)0<α^i<C(i=1,2,⋯ ,m)\underbrace{max}_{\check{\alpha}_i,\hat{\alpha}_i}\quad\sum_{i=1}^{m}(y_i(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)-\epsilon(\hat{\alpha}_i+\check{\alpha}_i))-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)(\hat{\alpha}_j-\check{\alpha}_j)\kappa_{ij}\\ s.t. \quad \sum_{i=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)=0\\ 0<\check{\alpha_i}<C\quad(i=1,2,\cdots,m)\\ 0<\hat{\alpha}_i<C \quad(i=1,2,\cdots,m)αˇi,α^imaxi=1∑m(yi(α^i−αˇi)−ϵ(α^i+αˇi))−21i=1∑mj=1∑m(α^i−αˇi)(α^j−αˇj)κijs.t.i=1∑m(α^i−αˇi)=00<αiˇ<C(i=1,2,⋯,m)0<α^i<C(i=1,2,⋯,m)

对目标函数取负号，得到求极小值的目标函数如下：
min⎵α^i,αˇi12∑i=1m∑j=1m(α^i−αˇi)(α^j−αˇj)κij−∑i=1m(yi(α^i−αˇi)−ϵ(α^i+αˇi))s.t.∑i=1m(α^i−αˇi)=00<αiˇ<C(i=1,2,⋯ ,m)0<α^i<C(i=1,2,⋯ ,m)\underbrace{min}_{\hat{\alpha}_i,\check{\alpha}_i}\quad\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)(\hat{\alpha}_j-\check{\alpha}_j)\kappa_{ij}-\sum_{i=1}^{m}(y_i(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)-\epsilon(\hat{\alpha}_i+\check{\alpha}_i))\\ s.t. \quad \sum_{i=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)=0\\ 0<\check{\alpha_i}<C\quad(i=1,2,\cdots,m)\\ 0<\hat{\alpha}_i<C \quad(i=1,2,\cdots,m)α^i,αˇimin21i=1∑mj=1∑m(α^i−αˇi)(α^j−αˇj)κij−i=1∑m(yi(α^i−αˇi)−ϵ(α^i+αˇi))s.t.i=1∑m(α^i−αˇi)=00<αiˇ<C(i=1,2,⋯,m)0<α^i<C(i=1,2,⋯,m)

对于这个目标函数，依然可以用SMO算法来求出对应的αiˇ,αi^\check{\alpha_i},\hat{\alpha_i}αiˇ,αi^，进而求出回归模型系数w,bw,bw,b。

四、SVM回归模型系数的系数的稀疏性

上述过程需满足KKT条件，即要求：
{α^i(yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i)=0αˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi)=0αˇiα^i=0,ξˇiξ^i=0(C−αˇi)ξˇi=0,(C−α^i)ξ^i=0\begin{cases}\hat{\alpha}_i(y_i-w\cdot\phi(x_i)-b-\epsilon-\hat{\xi}_i)=0\\ \check{\alpha}_i(x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon-\check{\xi}_i)=0\\ \check{\alpha}_i\hat{\alpha}_i=0,\quad\check{\xi}_i\hat{\xi}_i=0\\ (C-\check{\alpha}_i)\check{\xi}_i=0,\quad (C-\hat{\alpha}_i)\hat{\xi}_i=0 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧α^i(yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i)=0αˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi)=0αˇiα^i=0,ξˇiξ^i=0(C−αˇi)ξˇi=0,(C−α^i)ξ^i=0

由KKT条件知：

当且仅当yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i=0y_i-w\cdot\phi(x_i)-b-\epsilon-\hat{\xi}_i=0yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i=0时，α^i\hat{\alpha}_iα^i能取非零值；
当且仅当x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi=0x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon-\check{\xi}_i=0x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi=0时，αˇi\check{\alpha}_iαˇi能取非零值；
总结： 仅当样本(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)不落入ϵ−\epsilon-ϵ−间隔带中，相应的αˇi\check{\alpha}_iαˇi和α^i\hat{\alpha}_iα^i才能取非零值。
约束yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i=0y_i-w\cdot\phi(x_i)-b-\epsilon-\hat{\xi}_i=0yi−w⋅ϕ(xi)−b−ϵ−ξ^i=0和x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi=0x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon-\check{\xi}_i=0x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi=0不能同时成立，因此αˇi\check{\alpha}_iαˇi和α^i\hat{\alpha}_iα^i中至少有一个为000。
落在ϵ−\epsilon-ϵ−间隔带中的样本都满足αˇi=0\check{\alpha}_i=0αˇi=0且α^i=0\hat{\alpha}_i=0α^i=0。

最终SVM线性回归的解形式如下：
f(x)=∑i=1m(α^i−αˇi)κ(x,xi)+bf(x)=\sum_{i=1}^{m}(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)\kappa(x,x_i)+bf(x)=i=1∑m(α^i−αˇi)κ(x,xi)+b
其中κ(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)\kappa(x_i,x_j)=\phi(x_i)^T\phi(x_j)κ(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)为核函数。

能使f(x)f(x)f(x)中的(α^i−αˇi)(\hat{\alpha}_i-\check{\alpha}_i)(α^i−αˇi)不等于000的样本即为SVR的支持向量，它们必落在ϵ−\epsilon-ϵ−间隔带之外。 显然，SVR的支持向量仅是训练样本的一部分。

由KKT条件可以看出，对每个样本(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)都有： (C−αˇi)ξˇi=0(C-\check{\alpha}_i)\check{\xi}_i=0(C−αˇi)ξˇi=0且αˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi)=0\check{\alpha}_i(x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon-\check{\xi}_i)=0αˇi(x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ−ξˇi)=0。于是，在得到αˇi\check{\alpha}_iαˇi后，若0<αˇi<C0<\check{\alpha}_i<C0<αˇi<C，必有ξiˇ=0\check{\xi_i}=0ξiˇ=0，则x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ=0x\cdot\phi(x_i)+b-y_i-\epsilon=0x⋅ϕ(xi)+b−yi−ϵ=0，进而有：
b=yi+ϵ−∑j=1m(α^j−αˇj)xjTxib=y_i+\epsilon-\sum_{j=1}^{m}(\hat{\alpha}_j-\check{\alpha}_j)x_j^Tx_ib=yi+ϵ−j=1∑m(α^j−αˇj)xjTxi
因此，通过SMO算法得到αˇi\check{\alpha}_iαˇi后，可任意选取满足0<αˇi<C0<\check{\alpha}_i<C0<αˇi<C的样本通过上式求得bbb。实践中常采用一种更鲁棒的办法：选取多个（或所有）满足条件0<αˇi<C0<\check{\alpha}_i<C0<αˇi<C的样本求解b后取平均值。

【参考文献】

刘建平博客园：https://www.cnblogs.com/pinard/
周志华《机器学习》

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