2021牛客暑期多校训练营4 E-Tree Xor（异或+思维+区间交 or Trie树）

E-Tree Xor

首先不考虑区间限制条件，我们给定其中一个点的权值后，那么其他点的权值也就确定。比如 val1=0\text{val}_1=0val1=0，即可通过变得限制求出其他点valu\text{val}_uvalu，而且不难发现如果val1=0⊕a\text{val}_1=0\oplus aval1=0⊕a那么其余点的权值valu=0⊕a\text{val}_u=0\oplus avalu=0⊕a

下面记valu\text{val}_uvalu为当val1=0\text{val}_1=0val1=0时，u点的权值。

于是问题转化为求出满足下面区间限制aaa的个数。
L1≤val1⊕a≤R1L2≤val2⊕a≤R2…Ln≤valn⊕a≤Rn\text L_1\leq \text{val}_1\oplus a\leq \text R_1\\\text L_2\leq \text{val}_2\oplus a\leq \text R_2\\ \dots\\ \text L_n\leq \text{val}_n\oplus a\leq \text R_n L1≤val1⊕a≤R1L2≤val2⊕a≤R2…Ln≤valn⊕a≤Rn

考虑其中一种限制直观的想法是Lu≤valu⊕a≤Ru⇒L1⊕val1≤a≤R1⊕val1\text L_u\leq \text{val}_u\oplus a\leq \text R_u\Rightarrow \text L_1\oplus \text{val}_1\ \leq a\leq \text R_1\oplus \text{val}_1Lu≤valu⊕a≤Ru⇒L1⊕val1 ≤a≤R1⊕val1不难发现上面转化是错误的，而且可以发现aaa的区间是不连续的！！！需要找出这些不连续的区间！

于是就很难处理，后面就是讲题人的做法（真滴强）

我们可以利用 [0,230−1][0,2^{30}-1][0,230−1] 的线段树, 把 [Li,Ri][L_i , R_i][Li,Ri] 分成 log⁡W\log WlogW个连续的区间, 且每个区间的形式是 : [∗∗∗00…00,∗∗∗11…11][***00\dots00,***11\dots 11][∗∗∗00…00,∗∗∗11…11], 这样的区间异或上 vali\text{val}_ivali 后仍然还是一个区间

不妨设∗∗∗***∗∗∗的数量是k

不难发现区间[∗∗∗00…00,∗∗∗11…11][***00\dots00,***11\dots 11][∗∗∗00…00,∗∗∗11…11]抑或上vali\text{val}_ivali的区间是[−−−00…00,−−−,11…11][- - -00\dots00,---,11\dots11][−−−00…00,−−−,11…11]
其中−−−---−−−是(∗∗∗00…00)⊕vali(***00\dots00)\oplus \text{val}_i(∗∗∗00…00)⊕vali的前kkk位的值
比如：[10100000,10101111][\color{Blue}{1010} \color{Red}{0000},\color{Blue}{1010} \color{Red}{1111}][10100000,10101111]⊕10011010⇒\oplus\color{Blue}{1001} \color{Red}{1010}\Rightarrow⊕10011010⇒ [00110000,00111111][\color{Blue}{0011} \color{Red}{0000},\color{Blue}{0011} \color{Red}{1111}][00110000,00111111]

蓝色部分异或0011=1010⊕0011\color{Blue}0011=1010\oplus00110011=1010⊕0011原红色部分不变，稍微思考一下就知道为什么了。

通过上面操作成功找出这些不连续的区间！！！

然后就sort区间差分乱搞就行。时间复杂度2log，可以用线段树维护所有不合法区间的并集，把不合法的区间标记为1，把时间复杂度降为1log

Code1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}
const int N=100010;
int h[N],e[2*N],ne[2*N],w[2*N],idx;
void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;}
int L[N],R[N];
int val[N];
struct node
{int l,r;
}tree[N*40];
int rt,cnt,n;
vector<pair<int,int>> vec;
void insert(int &u,int l,int r,int L,int R,int val)
{if(!u) u=++cnt;if(L<=l&&r<=R){int ql=l^(val&(~(r-l)));//异或之后的区间[ql,qr]int qr=ql+r-l;vec.push_back({ql,1});vec.push_back({qr+1,-1});return;}int mid=l+r>>1;if(L<=mid) insert(tree[u].l,l,mid,L,R,val);if(R>mid)insert(tree[u].r,mid+1,r,L,R,val);
}void dfs(int u,int fa)
{insert(rt,0,(1<<30)-1,L[u],R[u],val[u]);for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;val[v]=val[u]^w[i];dfs(v,u);}
}
int solve()
{sort(vec.begin(),vec.end());vec.push_back({1<<30,0});int ans=0;int cur=0;for(int i=0;i<vec.size()-1;i++){cur+=vec[i].second;if(cur==n) ans+=vec[i+1].first-vec[i].first;}return ans;
}
int main()
{n=rd();for(int i=1;i<=n;i++) L[i]=rd(),R[i]=rd();memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int u=rd(),v=rd(),w=rd();add(u,v,w),add(v,u,w);}dfs(1,0);printf("%d\n",solve());
}

比较容易想到的做法就是我们需要求
L1≤val1⊕a≤R1L2≤val2⊕a≤R2…Ln≤valn⊕a≤Rn\text L_1\leq \text{val}_1\oplus a\leq \text R_1\\\text L_2\leq \text{val}_2\oplus a\leq \text R_2\\ \dots\\ \text L_n\leq \text{val}_n\oplus a\leq \text R_n L1≤val1⊕a≤R1L2≤val2⊕a≤R2…Ln≤valn⊕a≤Rn
转化成
[val1⊕a≤R1]➖[val1⊕a<L1][val2⊕a≤R2]➖[val2⊕a<L2]…[valn⊕a≤Rn]➖[valn⊕a<Ln][\text{val}_1\oplus a\leq \text R_1]➖[\text{val}_1\oplus a< \text L_1]\\ [\text{val}_2\oplus a\leq \text R_2]➖[\text{val}_2\oplus a< \text L_2]\\ \dots\\ [\text{val}_n\oplus a\leq \text R_n]➖[\text{val}_n\oplus a< \text L_n] [val1⊕a≤R1]➖[val1⊕a<L1][val2⊕a≤R2]➖[val2⊕a<L2]…[valn⊕a≤Rn]➖[valn⊕a<Ln]
上面的➖理解为两个集合相减。

实际上我需要求的就是⊕a≤b\oplus a\leq b⊕a≤b的区间，显然字典树可以做，相当于求⊕a≤b\oplus a\leq b⊕a≤b的数有哪些，和第二次杭电I love counting求的步骤一样，在Trie树上讨论一下就行。

Code2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}
const int N=100010;
int h[N],e[2*N],ne[2*N],w[2*N],idx;
void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;}
int L[N],R[N];
int val[N];
struct node
{int l,r;
}tree[N*40];
int rt,cnt,n;
vector<pair<int,int>> seg[2];
void query(int k,int a,int b)// x^a<=b
{int u=rt;int cur=0;for(int i=29;i>=0;i--)//30位{int ai=a>>i&1;int bi=b>>i&1;if(bi==1) //b=1{if(ai==0) {seg[k].push_back({cur,cur+(1<<i)-1});cur+=1<<i;if(!tree[u].r) tree[u].r=++cnt;u=tree[u].r;}else{seg[k].push_back({cur+(1<<i),cur+(1<<i)+(1<<i)-1});if(!tree[u].l) tree[u].l=++cnt;u=tree[u].l;}}else{if(ai==0){if(!tree[u].l) tree[u].l=++cnt;u=tree[u].l;}else {cur+=1<<i;if(!tree[u].r) tree[u].r=++cnt;u=tree[u].r;}}}seg[k].push_back({cur,cur});
}
void dfs(int u,int fa)
{for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;val[v]=val[u]^w[i];dfs(v,u);}
}
int solve()
{vector<pair<int,int>>vec;for(auto t:seg[0]) {vec.push_back({t.first,-1});vec.push_back({t.second+1,+1});}for(auto t:seg[1]) {vec.push_back({t.first,+1});vec.push_back({t.second+1,-1});}sort(vec.begin(),vec.end());vec.push_back({1<<30,0});int ans=0;int cur=0;for(int i=0;i<vec.size()-1;i++){cur+=vec[i].second;if(cur==n) ans+=vec[i+1].first-vec[i].first;}return ans;
}
int main()
{n=rd();for(int i=1;i<=n;i++) L[i]=rd(),R[i]=rd();memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int u=rd(),v=rd(),w=rd();add(u,v,w),add(v,u,w);}dfs(1,0);for(int i=1;i<=n;i++) {if(L[i]>0) query(0,val[i],L[i]-1);query(1,val[i],R[i]);}printf("%d\n",solve());
}

其实仔细分析应该能写出Trie树的做法，不过当时没有分析出来啊www

要加油哦~