斯坦福大学机器学习第四课”多变量线性回归“学习笔记，本次课程主要包括7部分：

1) Multiple features(多维特征)

2) Gradient descent for multiple variables(梯度下降在多变量线性回归中的应用)

3) Gradient descent in practice I: Feature Scaling(梯度下降实践1：特征归一化)

4) Gradient descent in practice II: Learning rate(梯度下降实践2：步长的选择)

5) Features and polynomial regression(特征及多项式回归)

6) Normal equation(正规方程-区别于迭代方法的直接解法)

7) Normal equation and non-invertibility (optional)(正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法)

以下是每一部分的详细解读：

1) Multiple features(多维特征)

第二课中我们谈到的是单变量的情况，单个特征的训练样本，单个特征的表达式，总结起来如下图所示：

对于多维特征或多个变量而言：以房价预测为例，特征除了“房屋大小外”，还可以增加“房间数、楼层数、房龄”等特征，如下所示：

定义：

n = 特征数目

x(i)= 第i个训练样本的所有输入特征，可以认为是一组特征向量

x(i)j = 第i个训练样本第j个特征的值，可以认为是特征向量中的第j个值

对于Hypothesis，不再是单个变量线性回归时的公式：hθ(x)=θ0+θ1x

而是：

为了方便，记x0 = 1，则多变量线性回归可以记为：

其中θ和x都是向量。

2) Gradient descent for multiple variables(梯度下降在多变量线性回归中的应用)

对于Hypothesis:

其中参数：θ0, θ1,…,θn可表示为n+1维的向量  θ

对于Cost Function:

梯度下降算法如下:

对J(θ)求导，分别对应的单变量和多变量梯度下降算法如下：

当特征数目为1，也就是n=1时：

当特征数目大于1也就是n>1时，梯度下降算法如下：

3) Gradient descent in practice I: Feature Scaling(梯度下降实践1：特征归一化)

核心思想：确保特征在相似的尺度里。

例如房价问题：

特征1：房屋的大小（0-2000）；

特征2：房间数目（1-5）；

1. 简单的归一化，除以每组特征的最大值，则：

目标：使每一个特征值都近似的落在−1≤xi≤1  的范围内。

举例：因为是近似落在这个范围内，所以只要接近的范围基本上都可以接受，例如：

0<=x1<=3, -2<=x2<=0.5, -3 to 3, -1/3 to 1/3 都ok;

但是：-100 to 100, -0.0001 to 0.0001不Ok。

2.Mean Normalization(均值归一化):

用xi–μi    替换  xi使特征的均值近似为0（但是不对x0=1处理），均值归一化的公式是：

其中Si可以是特征的取值范围（最大值-最小值），也可以是标准差(standard deviation).

对于房价问题中的两个特征，均值归一化的过程如下：

4) Gradient descent in practice II: Learning rate(梯度下降实践2：步长的选择)

对于梯度下降算法：

需要注意两点：

-“调试”：如何确保梯度下降算法正确的执行；

-如何选择正确的步长(learning rate):  α;

第二点很重要，它也是确保梯度下降收敛的关键点。要确保梯度下降算法正确运行，需要保证 J(θ)     在每一 步迭代中都减小，如果某一步减少的值少于某个很小的值 ϵ , 则其收敛。例如：

如果梯度下降算法不能正常运行，考虑使用更小的步长α，这里需要注意两点：

1）对于足够小的α,  J(θ)   能保证在每一步都减小；

2）但是如果α太小，梯度下降算法收敛的会很慢；

总结：

1）如果α太小，就会收敛很慢；

2）如果α太大，就不能保证每一次迭代J(θ)都减小，也就不能保证J(θ)收敛；

如何选择α-经验的方法：

…, 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1…

约3倍于前一个数。

5) Features and polynomial regression(特征及多项式回归)

例子-房价预测问题：

特征x1表示frontage(正面的宽度），特征x2表示depth(深度)

同时x1,x2也可以用一个特征表示：面积 Area = frontage * depth

即 hθ(x)=θ0+θ1x , x表示面积。

多项式回归:

很多时候，线性回归不能很好的拟合给定的样本点，例如：

所以我们选择多项式回归：

对于特征的选择，除了n次方外，也可以开根号，事实上也是1/2次方：

6) Normal equation(正规方程-区别于迭代方法的直接解法)

相对于梯度下降方法，Normal Equation是用分析的方法直接解决θ.

正规方程的背景：

在微积分里，对于1维的情况，如果θ   属于R:

求其最小值的方法是令：

然后得到θ.

同理，在多变量线性回归中，对于θ∈Rn+1，Cost Function是：

求取θ   的思路仍然是：

对于有4组特征(m=4)的房价预测问题：

其中X 是m * (n+1)矩阵：

y是m维向量：

则Normal equation的公式为：

注：这里直接给出了正规方程的公式，没有给出为什么是这样的，如果想知道原因，建议看看MIT线性代数 第4章4.3节“最小二乘法”的相关内容，这里面最关键的一个点是：

“The partial derivatives of ||Ax–b||2     are zero when ATAx=ATb.因此x=(XTX)−1XTy（将X换成A）θ=(XTX)−1XTy

举例可见官方的PPT，此处略；

Octave公式非常简洁：pinv(X’ * X) * X’ * y

对于m个样本，n个特征的问题，以下是梯度下降和正规方程的优缺点：

梯度下降：

需要选择合适的learning rate α;

需要很多轮迭代；

但是即使n很大的时候效果也很好；

Normal Equation:

不需要选择α；

不需要迭代，一次搞定；

但是需要计算(XTX)−1，其时间复杂度是O(n3)

如果n很大，就非常慢

7) Normal equation and non-invertibility (optional)(正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法)

对于Normal Equation，如果XTX 不可逆怎么办？

1) 去掉冗余的特征（线性相关）：

例如以平方英尺为单位的面积x1,  和以平方米为单位的面积x2，其是线性相关的：

x1=(3.28)2x2

2) 过多的特征，例如m <= n:

删掉一些特征，或者使用regularization–之后的课程会专门介绍。

参考资料：