第K短路+严格第K短路

所谓K短路，就是从s到t的第K短的路，第1短就是最短路。

如何求第K短呢？有一种简单的方法是广度优先搜索，记录t出队列的次数，当t第k次出队列时，就是第k短路了。但点数过大时，入队列的节点过多，时间和空间复杂度都较高。

A*是在搜索中常用的优化，一种启发式搜索。简单的说，它可以用公式表示为f(n) = g(n) + f(n)，其中，f(n)是从s经由节点n到t的估价函数，g(n)是在状态空间中从s到n的实际代价，h(n)是从n到t的最佳路径估计代价。在设计中，要保证h(n)<= n到t的实际代价，这一点很重要，h(n)越接近真实值，速度越快。

由于启发函数的作用，使得计算机在进行状态转移时尽量避开不可能产生最优解的分支，而选择相对较接近最优解的路径进行搜索，降低了时间和空间复杂度。

算法过程：

1. 将图反向，用dijstra+heap求出t到所有点的最短距离，目的是求所有点到点t的最短路，用dis[i]表示i到t的最短路，其实这就是A*的启发函数，显然：h(n)<= n到t的实际代价。

2. 定义估价函数。我们定义g(n)为从s到n所花费的代价，h(n)为dis[n]，显然这符合A*算法的要求。

3. 初始化状态。状态中存放当前到达的点i,fi,gi。显然，fi=gi+dis[i]。初始状态为(S,dis[S],0)，存入优先级队列中。

4. 状态转移。假设当前状态所在的点v相邻的点u，我们可以得到转换：(V,fv,gv)-->(U,fu+w[v][u],gv+w[v][u])。

5. 终止条件。每个节点最多入队列K次，当t出队列K次时，即找到解。

例：POJ2449

题意：裸的K短路。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAX = 1005;
int n,m;
int start,end,k;
struct Edge
{int w;int to;int next;
};
Edge e[100005];
int head[MAX],edgeNum;
int dis[MAX];   //dis[i]表示从i点到end的最短距离
bool vis[MAX];
int cnt[MAX];
vector<Edge> opp_Graph[MAX];struct Node
{int f,g;    //f = g+dis[v]int v;      //当前到达的节点Node(int a, int b,int c):f(a),g(b),v(c){}bool operator < (const Node& a) const{return a.f < f;}
};void addEdge(int from, int to, int w)
{e[edgeNum].to = to;e[edgeNum].w = w;e[edgeNum].next = head[from];head[from] = edgeNum++;
}void dijikastra(int start)
{int i;memset(vis,0,sizeof(vis));for(i = 1; i <= n; i++)dis[i] = INF;dis[start] = 0;priority_queue<Node> que;que.push(Node(0,0,start));Node next(0,0,0);while(!que.empty()){Node now = que.top();que.pop();if(vis[now.v])              //从集合T中选取具有最短距离的节点continue;vis[now.v] = true;          //标记节点已从集合T加入到集合S中for(i = 0; i < opp_Graph[now.v].size(); i++)    //更新从源点到其它节点(集合T中)的最短距离{Edge edge = opp_Graph[now.v][i];if(!vis[edge.to] && dis[now.v] + edge.w < dis[edge.to])     //加不加前面的判断无所谓{dis[edge.to] = dis[now.v] + edge.w;next.f = dis[edge.to];next.v = edge.to;que.push(next);}}}
}int A_Star()
{int i;priority_queue<Node> que;if(dis[start] == INF)return -1;que.push(Node(dis[start],0,start));Node next(0,0,0);while(!que.empty()){Node now = que.top();que.pop();cnt[now.v]++;if(cnt[end] == k) return now.f;//严格最短路的判断条件为 cnt[end] == k&&now.f>min(zuiduanlu)if(cnt[now.v] > k)continue;for(i = head[now.v]; i != -1; i = e[i].next){next.v = e[i].to;next.g = now.g + e[i].w;next.f = next.g + dis[e[i].to];que.push(next);}}return -1;
}int main()
{int i;int from,to,w;edgeNum = 0;memset(head,-1,sizeof(head));memset(opp_Graph,0,sizeof(opp_Graph));memset(cnt,0,sizeof(cnt));scanf("%d %d",&n,&m);Edge edge;for(i = 1; i <= m; i++){scanf("%d %d %d",&from,&to,&w);addEdge(from,to,w);edge.to = from;edge.w = w;opp_Graph[to].push_back(edge);}scanf("%d %d %d",&start,&end,&k);if(start == end)k++;dijikastra(end);int result = A_Star();printf("%d\n",result);return 0;
}

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