c语言证明加法交换律,与环定义相关的问题证明交换环定义为：集合R上定义加法和乘法,使得R中任何元素满足：（1）加法交换律 （2）加法结合律（3...
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命题1：对任意R中元素c都有 c*0=0.——定义为性质(9)
证明：
对任意R中元素c都有 c*(0+0)=c*0+c*0,——性质(8)
但是0+0=0,——性质(3)
所以 c*0=c*0+c*0.
设c*0=d∈R,那么有 d=d+d.
由(4),d+(-d)=d+d+(-d),左端=0(由(4)),右端=d+0(由(2)和(4)),所以
0=d+0=d,也即c*0=0.
命题2：对任意R中元素c都有 c*(-1)=-c.——定义为性质(10)
证明：
c+c*(-1)
=c*1+c*(-1)——性质(7)
=c*(1+(-1))——性质(8)
=c*0——性质(4)
=0——性质(9)
因此 c*(-1)=-c.——性质(4)
对任意R中元素a,b都有-b+a∈R,于是(-b+a)*0=0
0 = (-b+a)*0 ——性质(9)
= (-b+a)*(1+(-1))——性质(4)
= (-b+a)*1+(-b+a)*(-1)——性质(8)
= 1*(-b+a)+(-1)*(-b+a)——性质(5)
= 1*(-b)+1*a+(-1)*(-b)+(-1)*a——性质(8)
= (-b)*1+a*1+(-b)*(-1)+a*(-1)——性质(5)
= -b+a+b+(-a)
上面等式最左端和最右端同时左加b,得到
b = b+(-b)+a+b+(-a)
= 0+a+b+(-a)——性质(2)(4)
= a+b+(-a)——性质(3)
上面等式最左端和最右端同时右加a,得到
b+a = a+b+(-a)+a
= a+b+0 ——性质(2)(4)
=a+b ——性质(3)
因此结论成立.
1年前
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