前言：我的个人听课记录，毕竟是初学，错误在所难免，我知道了错误会改正更新，欢迎指导也欢迎一起讨论学习。

2.2 机器数的定浮点表示

引言

上次课解决了如何表示带符号数的符号在计算机的表示方法——设置首位为符号位，这次课解决计算机中小数点的表示方法——不表示。
小数点在计算机中不表示，只是和计算机约定好了小数点存在的位置。

计算机可以分成整数机和小数机。（都是定点机）
小数机只处理小数，即送到小数机的数必须是小数且必须是纯小数，约定小数点在符号位后边。
整数机只处理整数，即送到整数机的数必须是整数，约定小数点在数的末尾。

基本原理都是将小数点固定在双方约定的位置，因此不需要表示在数字中。

2.1定点机

定点小数

小数机约定：小数点在符号位后边。

定点整数

整数机约定：小数点在数据末尾。

例题

例1：X=1001的十进制数
小数机：1.001=-0.125D？错，原码or补码?
原码：-2^-3=-0.125
补码：1.110+1=1.111，
即 -（2^-1+2^-2+2^-3)= -0.875
整数机：
原码：1001即-1
补码：1110+1=1111，即-7
例2：X=1000
原码：
整数：1000即-0
小数：1.000即-0
补码：
整数：1111+1=0000，即+0，阿哦，错了。
它不眼熟吗？补码1000是-8呀！！（整数的负的最大）
小数：-1 （1.000小数的负的最大为-1）

2.2.2浮点机

核心：科学计数法表示。
+32.75，用科学计数法表示为：+0.3275×\times× 10²
即存储： 0.3275 和 2
例：11.011 即+ 0.11011×\times× 2⁺¹⁰
(其中都是二进制，10是2）
在计算机中应存储：
011011 和010，
且定义011011为尾数，定义010为阶码。
于是浮点机规格可以用（m,n)表示，其中m表示阶码有m位，n代表尾数有n位。

定浮点数的表示举例：-6.5：

 定点小数：（-6.5）D=（-110.1）B原码：11101原码：10010+1=10011
定点正数：原码：11101补码：10011
浮点机：-6.5=-110.1=-0.1101* 2^11（11是3）原码：11101 011补码：10011 011尾数的原码转补码即10010+1=10011 阶码011的补码即011（正数）。
PS：
定点正数和定点小数的原补码虽然长得一样，但具体不一样。
定点小数的原补码隐含小数点在符号位后边，
而定点小数的原补码隐含小数点在末尾。

可以看到定点整数和定点小数用5位就可以表示，而浮点机的话需要用8位才能表示。于是引出精度和范围比较：

2.2.3精度和范围比较

精度：一种编码方式下两个数之间的最小距离。

定点整数精度：最小距离就是1；

定点小数精度：对于：a_n-1a_n-2···a₀的最小距离是2^-(n-1) 那么8位就是2^-7=1128{1}\over{128}1281

浮点数精度（4,4）：尾数：2^-3 阶码：2^-7
所以2^-3×\times× 2^-7=2^-10

范围（8位原码为例）

定点小数：1111 1111 ~0111 1111
（隐含小数位在符号位之后）
即：-（1-2^-7） ~ +（1-2^-7)= -127128{127}\over{128}128127~ +127128{127}\over{128}128127

定点整数：1111 1111~0111 1111
（隐含小数在末尾）
即：-(2⁷-1) ~ (2⁷-1)= -127~ +127

浮点数（4,4）：
0111 1111~0111 0111
即：-0.875×\times× 2⁷~+0.875×\times× 2⁷

8位机原码总结：

            精度              范围
定点整数：    1        -127/128 ~ +127/128
定点小数：   1/128         -127 ~ +127
浮点数：   2^(-10 )    -0.875*2^7 ~ +0.875*2^7

可以看到从上往下精度越来越精，范围越来越窄。

规格化浮点数

例：
（-6.5）D=（-110.1）B
= - 0.1101×\times× 2¹¹(规格化浮点数）
= - 0.01101×\times× 2¹⁰⁰(非规格化浮点数）
求几个特殊规格化数：
（4,4）规格化浮点数最大的数，最小的数，
离0最近（正的）的数。
a.最大：0111 0111，是规格化的
b.最小：0111 1111，是规格化的
c.离0最近（正的）：1111 0001，不是规格化的，所以规格化的离0最近的数是：1111 0100

2.2.4阶码

引入：
3.28×\times× 10²+0.42×\times× 10³
=（0.328+0.42）×\times× 10³
在计算机中我们可以用比较器比较2和3的数，输出3，
之后将0.328和0.42送到加法器中进行运算。
但是：如果是3.28×\times× 10^-2+0.42×\times× 10^-3呢？
-2是 1010,-3是1100，比较器比较出来的是-3大，不对。于是引入了移码，移动使其全为正数。
于是给出移码的运算规则：
[X]移[X]_移[X]移=[X]补[X]_补[X]补+偏置值。
偏置值有两种。一种是2^n-1一种是2^n-1-1。这里的n包括符号位。
也给出更简单的实现方案：
偏置值为2^n-1时，可以看成补码的符号位取反；
于是偏置值为2^n-1-1时，可以看成补码的符号位取反后减1。
例：[X]浮[X]_浮[X]浮=[11010111]补[11010111]_补[11010111]补（4,4）
可得阶码：1101（补码形式）
如果用偏置值：
偏置值是2^4-1=1000,1101+1000=0101(1 0101)
补码形式1101，符号位取反为：0101
偏置值是2^4-1-1=0111,1101+0111=0100(1 0100)
补码形式1101，符号位取反后减1 是：
0101-1=0100
例题：
求：-14.25.写出（6,6）浮点数（阶码用移码表示，尾数用原码）
-14.25= - 1110.01
= - 0.111001×\times× 2¹⁰⁰
6位阶码：000100求移码：补码形式符号位取反：100100
6位尾数：111100（位数不够，舍掉最后的1）
所以答案：100100111100

2.2.5 实用浮点数举例：IEEE 754标准

规定：
a 第一位(最高位）为尾数的符号，即整个数的符号
b 尾数用原码表示
c 尾数必须是规格化的。
即小数点后面是1，所以IEEE754标准将1隐藏。好处：尾数可以多表示一位。

第三个要求：
101.111=0.101111×\times× 2¹⁰⁰（上边的）
然而用IEEE标准表示：1.01111×\times× 2^11（其中小数点前的1隐藏）
例题来体会：
求-32.75短浮点数IEEE标准表示
-32.75
= -100000.11
= -1.0000011×\times× 2¹⁰¹
首位符号位：1
阶码（8位）：00000101->10000101
尾数（32）：1. 0000011 0000 0000 0000 0000
IEEE标准：11000010000000110000000000000000
用十六进制表示：
1100——C
0010——2
0000——0
0011——3
16个0——0000
所以用16进制表示为：C2030000H
求出：（C2430000）H=（？）D

答案： - 48.75
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