吴洁莹+徐章韬

随着数学的广泛应用、计算机技术和现代通讯技术的快速发展，社会对人们思维水平的要求也越来越高。思维是人类认识世界的框架，思维是在能力培养的过程中形成的，从能力上升到思维，是数学课程的应有之义。实验、计算、推理成了人们认识世界的三种基本方式。随着信息化时代的到来，发展计算思维显得越发重要，六大数学核心素养中的运算能力与计算思维也密切相关。运算是构成数学抽象的基本要素，是演绎推理的基本形式，是得到数学结果的重要手段，故运算能力是学生学会数学的基础。而计算思维是科学思维的一部分，对推动人类文明进步有着重要的作用。在教育上，要顺应时代发展趋势，充分发挥这种思维方式的育人作用。其实，学生在小学、初中和高中已经陆续接触过计算思维这一概念，只是对计算思维具体是什么还比较模糊。在大学计算机基础课中，计算思维才上升到一个比较严格、系统的层次。从运算能力的培养到计算思维的形成，就是要实现思维方式的根本变革，由计算引出推理，能从计算的角度思考问题，以更好地适应未来社会发展的要求。

运算能力与计算思维

1.运算能力

运算能力是基本而重要的能力。《普通高中数学课程标准》(征求意见稿)指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。运算过程主要包括：理解对象———掌握法则———探究思路———选择方法———设计程序———求得结果等。数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”数学课程的学习要求学生能进一步发展数学运算能力，以运算为载体促进学生数学思维的发展，形成程序化思考问题的品质。数学运算能力是集计算和推理于一体的能力，当计算能力得到提高之后，推理能力也就自然而然能得到提升。

2.计算思维

数学运算是计算机解决问题的基础。人的运算能力和计算思维可以在计算机上得到实现，可以在人工智能、机器学习、智能自动化等方向上得到印证。从计算能力到计算思维的跨跃，是时代发展的必然。计算思维就是基于可计算的手段，以定量化的方式进行的思维过程。计算思维与众多学科有着密切的联系。它是概念化的，不是程序化的；是一种根本技能，不是刻板的技能；是人的一种思维方法，不是计算机的思维；它源于数学思维。计算思维可把一个困难的问题按照约简、嵌入、转化和仿真的方式演化成如何求解的思维方法，可进行多维分析检查结果；能对一个问题建立模型使其易于處理，能处理大量数据，能加快其运算速度；并且在考虑计算机存储能力和处理能力的情况下，能得到最简单、最容易的执行过程。计算思维是人类求解问题的一条途径，面向所有人，当计算思维融入人类生活时，它将作为每个人解决问题的有效工具。目前，美国学者普遍把计算思维定义为“是一种能够把问题及其解决方案表述成可以有效地进行信息处理的形式之思维过程”。数学教育中的计算思维，是指从计算的角度出发思考问题，把问题数量化，化归或递归为可计算的问题，用数据来进行推理。在数学教育中加强计算思维的教学，反映了信息化时代对数学教育的诉求。

3.搭建沟通之桥

张景中院士对计算与推理之间的关系有着十分精辟的论述：计算是具体的推理，推理是抽象的计算，图形是推理的直观模型。湖北裴光亚老师也认为，计算是数学的当然“先行组织者”，计算是数学教学的支点。对计算的认识，不能仅仅局限于计算技能的掌握，而应当提高到算法、算理的高度。到此高度之后，人的计算能力物化到实物之上，数学运算才成了计算机解决问题的基础。《算法化视角下中学数学教学内容的知识分析》(《数学教育学报》，2013，(2))一文从算法化和算理化对中学数学内容进行了知识分析，认为中学数学内容中蕴含着丰富的算法和深刻的算理，是发展计算思维的良好载体。事实上，以算代证，以计算拉动推理的教材处理方式，已经在中学数学教材中得到落实。自从有了向量法，立体几何的教育价值不再被课标高度强调，而是强调用较高级的工具处理立体几何题材。更不必说，解析几何本身就是用代数的方法处理几何了。故发展计算能力、计算思维，以计算带动欧氏演绎式的推理，是一种大的趋势。“吴方法”用坐标和方程解决几何问题，是计算思维的典型代表。

运算能力与计算思维的区别在于，计算思维要求教会人如何从计算的角度去思考问题，成为一种认识世界的方式和手段，而运算能力更多地强调可程序化地执行，是一种外在表现。在处理简单问题或常规问题上，或许看不出计算思维和计算能力的区别。在一些没有固定思考模式或套路的问题上，两者的区别才显示出来了。单墫教授认为组合数学最能反映解题者对数学的理解，反映他/她的灵活性与创造性。如果把计算能力升华到计算思维，组合问题也尽在其中了。从组合问题入手，发展计算思维是一个切入口。下面看几个具体的例子。

还是毕达哥拉斯那句豪言壮语“万物皆数”有道理。

既然有了数，就有了计算，从计算出发思考应是一条新路。随着信息技术的发展，计算思维将成为我们时代思维的主要方式和手段。

信息技术快速发展，计算思维是人人需要掌握，处处都要用到的一种根本思考方式。计算思维不仅能帮助人们解决问题，还有助于日常生活的管理以及与他人进行交流和互动。计算思维需要从小开始培养，由于计算思维在本质上是源于数学思维，因此从中小学强调的运算能力入手训练计算思维，教会学生如何从计算的角度思考问题，如何分析各个方面的数量关系极其重要。故从运算能力到计算思维的升华，是教育教给学生适应未来生活的福祉。学科核心素养要素的拟定应充分考虑科技发展对数学教育的巨大影响，虽然中小学数学的课程内容是陈旧的，但其承载的信息却是要与时俱进的。

(作者单位：华中师范大学数学与统计学学院)