搜索技巧——奇偶剪纸
一、
关于奇偶剪枝
1、
首先举个例子，有如下4*4的迷宫，'.'为可走路段，'X'为障碍不可通过
S...
....
....
...D
从S到D的最短距离为两点横坐标差的绝对值+两点纵坐标差的绝对值 = abs(Sx - Dx) + abs(Sy - Dy) = 6，这个应该是显而易见的。
遇到有障碍的时候呢
S.XX
X.XX
...X
...D
你会发现不管你怎么绕路，最后从S到达D的距离都是最短距离 + 一个偶数，这个是可以证明的
而我们知道：
奇数 + 偶数 = 奇数
偶数 + 偶数 = 偶数
因此不管有多少障碍，不管绕多少路，只要能到达目的地，走过的距离必然是跟最短距离的奇偶性是一致的。
所以如果我们知道从S到D的最短距离为奇数，那么当且仅当给定的步数T为奇数时，才有可能走到
如果给定的T的奇偶性与最短距离的奇偶性不一致，那么我们就可以直接判定这条路线永远不可达了
2、引图举例
（1）、
现假设起点为(sx,sy)，终点为（ex,ey），给定 t 步恰好走到终点，
|
s |
||||
|
| |
||||
|
| |
||||
|
| |
||||
|
+ |
— |
— |
— |
e |
如图所示（“|”竖走，“—”横走，“+”转弯），易证 abs(ex-sx)+abs(ey-sy) 为此问题类中任意情况下，起点到终点的最短步数，记做step，此处step1=8；
|
s |
— |
— |
— |
|
|
— |
— |
+ |
||
|
| |
+ |
|||
|
| |
||||
|
+ |
— |
— |
— |
e |
如图，为一般情况下非最短路径的任意走法举例，step2=14；
step2-step1=6，偏移路径为6，偶数（易证）；
结论
推广之，若 t- [abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 结果为非偶数（奇数），则无法在 t 步恰好到达；返回，false；
反之亦反。
（2）、
还是以这个为例子吧，现在我把矩阵填满 0 和 1 [1]
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 | 1 | 0 |
|
1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
我们现假设从 0 开始走，则不难证明，
从任意 0 走到任意 1 始终是奇数步；
从任意 0 走到任意 0 始终是偶数步；
引用描述里的“例子”， s 到 e 的最短步数为 t (当然你也可以理解成此时到终点刚好剩余 t 步等等)。
则，我们从 s 到 e 的步数之和(或者说总距离)总可以表示成 sum= t + extra ( extra>=0 )，其中 extra 表示额外的步数。
如：
|
s |
— |
— |
— |
|
|
— |
— |
+ |
||
|
| |
+ |
|||
|
| |
||||
|
+ |
— |
— |
— |
e |
此时 t=8，sum=14，所以我们容易得到 extra=6。也就是说按照这个走法，需要在最短的步数上再走额外的 6 步(先不用太在意这些偏移是在什么地方产生的)。
又如：
|
s |
— |
— |
— |
|
|
— |
— |
+ |
||
|
| |
+ |
|||
|
| |
+ | — | e | |
|
+ |
— |
— |
此时，t=7，sum=15，所以我们也容易得到 extra=8。
（3)、
根据理科生的天性，由这两个一般性的例子，我们很容易嗅察到 extra 都为偶数。先带着疑惑，
再来看我给的 0 、1 矩阵。
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 | 1 | 0 |
|
1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
设左上角坐标为（1，1），右下角坐标为（5，5）.
那么我们给的例1，
起点 s 的坐标为（1，1），此点为“0”；
终点 e 为（5，5），此点为“0”。
所以 t=8，为偶数。
现在我们再倒过来看，从终点(也就是 e )出发，把最短步数 t=8 耗费掉，不妨这样走，
|
s |
+ | |||
|
+ |
— | |||
| | | ||||
| + | — | |||
|
— |
— |
e |
如图所示从 e （5，5）耗费 8 步走到了（1，5）点。
因为是从 0 走偶数步，所以走到的坐标也一定是 0 ，就像这里的（1，5）点是 0 一样。
这是一个递归的过程，首先如果从0开始，目的地也是0，那么其中的最短距离 t 必然是个偶数，可其中有可能有障碍物或需要绕弯的情况，那么我们就现将最短距离 t 用于绕弯，从开始的0，走t步不管怎么走都只能到0，而这个0到终点0的最短路径t也必然是偶数，一直递归下去，直到你绕够了到达终点，这中间你额外的步数都是偶数。
注意到，（1，5）点和起点 s （1，1）都是 0，也就是说，这个 extra 必然是偶数！
再看例2，同样从终点 e 开始耗费 t=7 步，
则所到的点一定是 0 (不管它在哪里)，再从这个点回到起点 s ，所用的 extra 也必然是个偶数！
所以无论如何，sum= t + extra ( extra>=0 ) 中的 extra 都是一个偶数
那么我们就可以用公式 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 计算出extra是否为偶数来判断当前点能否恰好在这么多步到达终点了。
以上来自百度百科
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