杨辉三角与二项式定理

一、杨辉三角

简介：什么是杨辉三角？

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

如下图：

根据定理代码实现：

memset(yh_triangle,0,sizeof(yh_triangle));
for(int i = 0;i <= n;i++){yh_triangle[i][0] = 1;    //三角形左肩上的 1for(int j = 1;j <= i;j++) yh_triangle[i][j] = yh_triangle[i-1][j-1] + yh_triangle[i-1][j];
}

二、二项式定理

简介：什么是二项式定理

(a + b)ⁿ = ΣC_n^ka^n-kb^k

我们将（a + b）ⁿ 展开，得到了一个关于 x 的多项式：

(a + b)⁰ = 1
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
…

系数正好和杨辉三角的一致

对于二项式来说，(a + b)ⁿ 是 n 个括号连乘，每个括号里任选一项乘起来对最后结果都有影响。如果选了 k 个 a，就一定会选 n-k 个 b，就会有 a^n-kb^k。而从 n 个 a 里选 k 个，有 C^k_n 个方法，这也是组合数的定义（过两天的博客就是这方面的内容–组合数学）

如何求解 (a + b)ⁿ 呢？我们就要使用找杨辉三角的递推方法。
代码如下：

memset(C,0,sizeof(C));
for(int i = 0;i <= n;i++){C[i][0] = 1;for(int j = 1;j <= i;j++)C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
}

时间复杂度为 O(n²)，所以对于时间上来说并不是特别好用，下面我们介绍另一种方法。

利用等式 C^k_n = (n-k+1)/k * C_n^k-1，从 C⁰_n = 1 从左往右递推。

这个公式是通过 C^k_n = n!/k!(n-k)! 化简得来。

代码如下:

C[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++) c[i] = C[i-1]*(n-k+1)/i;

这里要注意，应该先乘后除，因为 C[i-1]/i 可能不是整数。但也增加了溢出的风险，当两数相乘的数据范围大于 10¹⁸ 的时候

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