原像、第二原像、碰撞；随机预言机；生日攻击

2024-05-24 01:14:01

三个问题

原像

给定一个消息摘要yyy，是否可以找到xxx使得h(x)=yh(x)=yh(x)=y。
若原像问题可解，则称(x,y)(x,y)(x,y)为有效对；若不能解则称原像稳固。

第二原像

给定一个消息xxx，其对应Hash值为y=h(x)y=h(x)y=h(x)，是否可以找到x′≠xx'\not=xx′=x使得h(x′)=yh(x')=yh(x′)=y。
若第二原像可解，则称(x′,h(x))(x',h(x))(x′,h(x))为有效对；若不可解则称第二原像稳固。

碰撞

不给定，问是否可以找到x′≠xx'\not=xx′=x使得h(x′)=h(x)h(x')=h(x)h(x′)=h(x)。
若碰撞问题可解，则可产生两个有效对(x,y)(x,y)(x,y)和(x′=y)(x'=y)(x′=y)，其中y=h(x′)=h(x)y=h(x')=h(x)y=h(x′)=h(x)；若不能有效解决则称碰撞稳固。

随机预言机

对任何输入都回传一个真正均匀随机的输出，不过对相同的输入，该预言机每次都会用同一方法输出。换句话说，随机预言机是一个将所有可能输入与输出作随机映射的函数。
令FX,YF^{X,Y}FX,Y是为所有从X→YX→YX→Y的函数集合，假定∣X∣=N|X|=N∣X∣=N，∣Y∣=M|Y|=M∣Y∣=M，随机从FX,YF^{X,Y}FX,Y中选出一个Hash函数h:X→Yh: X→Yh:X→Y ，对于任意的输入xxx，其输出值是均匀的，计算h(x)h(x)h(x)的唯一方法是询问随机预言机。

生日攻击

对于一个概率界限ε(0<ε<1)\varepsilon(0<\varepsilon<1)ε(0<ε<1)，找一个整数kkk，使得对于kkk个两两互异的值x1,x2,…,xk∈Xx_1,x_2,\dots,x_k\in Xx1,x2,…,xk∈X，kkk个函数值f(x1),f(x2),…,f(xk)f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_k)f(x1),f(x2),…,f(xk)对某些i≠ji\not=ji=j，有Pr[f(xi)=f(xj)]≥εPr[f(x_i)=f(x_j)]\geq\varepsilonPr[f(xi)=f(xj)]≥ε，即在kkk个函数值中，以不小于ε\varepsilonε的概率发生碰撞。产生碰撞是一个(ε,O((M)))(\varepsilon,O(\sqrt(M)))(ε,O((M)))的算法。
对一个输出空间大小为MMM的随机函数，只需计算大概M\sqrt MM个函数值，就能以一个不可忽略的概率发现一个碰撞。
Hash函数的输出空间大小必须有一个下界，长度为∣h∣|h|∣h∣的Hash函数，只需要2∣h∣22^{\frac{|h|}{2}}22∣h∣个随机哈希值就可以以一个不可忽略的概率产生一个碰撞。目前至少为160比特，抗生日攻击的强度至少为2802^{80}280。

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