经济订货批量(EOQ)模型及有计划的延期交货

第3章单件物品具有不变的需求率
这里假设需求是平滑的，而不是多单位随机的；在长期中没有波动，不管是可预测的还是不可预测的
供应是以离散形式批量进行，每批货物不管多少，都会有固定成本；同时，只有在经过一个固定的提前期，供应过程才能对补货订单做出响应

3.2 经济订货批量(EOQ)模型
关键假设是需求必须立即被满足，缺货是不允许的。
3.2.1 场景设置
需求以恒定速率连续发生

为补充库存，仓库下订单，而从下单后到经过一个固定的提前期，供应系统会交付这一数量的产品

下图描述了供应和需求对库存的净影响。大部分时间中，库存以-lambda的斜率线性下降。当刚下订单，在L单位时间前，什么事情也没有，随后，相应批量货物到了。在这一点上，库存增加了接收到的数量。

上述场景中有两个问题：

何时应下达订单
应订购多少货物
两个假设：
为达到能够满足所有需求，只在必要时候下订单，而不会提前下达（零库存特性）
每次订货的批量都一样

定义时点t（以时间单位衡量）的函数，且t>=0

假设t是现在，那么当前库存为I(t)，从t到t+L期间到达的新货物总计为IO(t)，而需求是D,故：

流守恒定律：上式的I(t)和I(t+L)的关系，这里库存位势IP（t）很好的描述了当前信息，即I(t)和IO(t)来协助预测未来的库存。

零库存法则：
持续监控库存位势IP（t），当IP（t-）=D时，在时点t下达新订单

3.2.2 绩效标准
出于规模经济原因，不希望过于频繁订货，也不希望持有过多库存，故采用专注于长期中平均值的方法。

由于IP(t)和I(t)是周期性的，故可通过检查在一个周期内(两次收到订货间的时间间隔)情况来确定长期平均值I和OF；每个周期长度为q/lambda，且每个周期内只有一份订单，因此：

同时，在一个周期中，I(t)以线性方式从q减少到0，故这个周期内平均库存为1/2*q，即

注意：在当订货频率OF减少时，平均库存I随q增加，则这两个标准发生了直接冲突，即在供应过程中，我们可通过选择一个较大的q来利用规模经济，但这会导致平均库存升高；我们也可减少库存，但却要以高订货频率为代价。

对于上述的冲突，通常会给模型I和OF强加一个约束条件，即无论库存还是订货频率都不能超过规定上限；比如: 平均库存I的上限意味着q的上限，故为了最小化OF，就将q设置的尽可能大，刚好达到其上限。同样，若设定了订货频率OF的极限值，那就要使q也达到其极限。
为了解决这个问题，我们可将这两个标准转化为同一个衡量标准，即货币成本，也就是说计算订货和库存产生的成本，并将它们整合到一个总体成本指标中。

库存的成本因子：

h意味着在时点t，库存I(t)使得成本以 h* I(t) 累积
每份订单总成本=k+c*q

持有成本包含两个部分：

与库存本身相关的所有直接成本，如实际处理成本，保险费，冷藏成本及仓库的租金
融资成本

这些成本因子加上实际绩效OF和I决定了单位时间的平均成本：
长期平均订货成本=(k+c* q)* OF
平均库存持有成本=h*I
总体绩效标准就是这两个数量之和：

3.2.3 最优策略
上面的函数C(q)衡量了任何可能订货批量q的总成本，故目标是找到q的最优值，用q* 来表示，通过对q进行求导并令其等于0，找到这一函数的最小值。

上式q* 即为经济订货批量EOQ
为方便，加入另一个变量u：

那么得到OF=1/u和I=1/2* lambda * u；这样平均成本就为u的函数；通过前面最优订货量q* 的公式，可以得到最优订货周u*：

将q* 公式代会到平均库存I和订货频率OF中，得到：

进而：

这里可以发现平均持有成本和平均（固定）订货成本在最优解q=q* 处是相等的，而它也带来了一个最优成本公式：

3.2.4 敏感性分析
当需求率发生变化（如从lambda变到lambda’）时对q* 产生什么影响，这里将q* 的新值用q*’表示，于是：

这里公式含义是：
1. 最优订货量和需求率变化方向相同
2. 最优订货量的相对变化比需求率的相对变化小（即q*’/q* 比lambda’/lambda更接近于1），换句话说，相对于需求率lambda而言，最优订货量q* 更加稳定，因此，在实际中，如果需求率相对变化不大时，计算出的最优订货量q* 值仍然有效（这种鲁棒性也是EOQ被广泛应用的原因）。
q* 随着lambda的平方根而变化；相对于订单的固定成本k和单位持有成本h的变化而言，q*更加稳定。

EOQ模型的另一种鲁棒性：
对于C(q)和C的公式中，暂时忽略变动成本clambda，并定义函数：

那么可以转换化简得到公式：

这个公式里，假设实际中，我们用了计算”错误的”q值而没有使用q*，那么与真正最优成本相比，这个次优策略的相对成本只取决于q自身的相对误差，这个公式完全独立于成本和需求的参数（E有时候被称为EOQ的误差函数）。
另外，这个E(x)里得出的值是大于等于1的，说明随着x远离1，E(x)缓慢增加，故若q与q*非常接近，那么相对成本损失很小
Ex：若q比q* 高了1/3，则q/q*=4/3，进而C(q)/C*=25/24，成本损失仅为1/24,；同样，若q比q* 低了25%，那么成本损失是一样的，故q/q*=3/4
上面的发现有一个实际意义，即系统性的将批量大小设定在低于EOQ模型给出的数值是有好处的。比如，我们故意将q设定为q*的90%，成本只会轻微增加；

此外，某些参数对于最优订货量q*是没有影响的。

q* 与变动成本参数c完全无关；直观原因是长期平均供应速度必须等于需求速度lambda，因此平均变动订货成本必须是c* lambda，这是一个与q无关的常数（然而，持有成本h通常在一定程度上与c有关，故c的变化会间接影响q*）
q* 和C*都与提前期L无关；这反映了在给定当前的库存位势，我们会准确知道何时用完库存，这样根据这一模型，缩短提前期就没有什么优势（这种预见建立在准确知道提前期和需求的假设之上，而在随机系统中，提前期确实有影响，因此缩短提前期也是有意义的）

3.3 有计划的延期交货
考虑相同的EOQ系统，但放松“所有需求都利用现有库存满足”的要求，即没有被立刻满足的需求会延期交货；我们会优先用现有库存满足需求，但只有库存完全被用完，缺货订单才会被积累。

3.3.2 再订货点/订货策略
函数定义：

净库存IN(t)是由I(t)和B(t)综合得到，而在任何给定的时间，这两个函数中至少有一个为0，故可以记作：

IN(t)：有时候被称作库存水平，而它是将缺货订单看成负的库存，在接收订单之间，不管IN(t)是正还是负，它都依然以恒定速率lambda下降，而当订单到达时，IN(t)都会增加q，其批量中一部分用来满足缺货订单，其余的会加入到库存中。

上式描述了在t和t+L之间，IO(t)被加到净库存中，而D被减去了，这样IP(t)就包含了预测未来一个提前期内的净库存所需的全部信息。

与EOQ一样，假设所有订单大小都是q(q>0); 由于缺货订单存在，何时下单变得更加复杂，因此，除了q之外，我们还需要另一个策略变量：

这个变量可以取任何值，正负都可以。

考虑以下策略：
持续监控库存位势IP(t)，当IP(t-)=r时，在时点t下达订货量为q的新订单。

(r,q)策略：为表示我们有了两个新的变量，这类策略被称为再订货点/订货量策略（reorder-point/order-quantity）

3.3.3 绩效标准
在绩效标准依然有平均库存I和订货频率OF，但由于延期交货会带来直接的货币成本，故我们需要衡量和控制延期交货，从而构建延期交货相关的绩效指标：

这里的1{*}是一个指标函数，A(t)是一个指标变量，当IN(t)<=0时为1，其他情况为0（由上式可知，说明0<=缺货频率平均值A<=1）；因此，缺货频率平均值A度量了被延期的需求部分，进而单位时间内被延期交货的平均需求数量为lambda*A，而订单满足率是1-A

现在来计算q和r的标准，先用等价变量替换r：

周期时间u：接收连续订单之间的时间为一个周期

与v一样，y可以为负。

对于任何给定的q值，只有某些特定v值有意义：IN(t)暗示着净库存IN(t-)在一个周期结束时恰好为安全库存v，故在周期开始时IN(t)=v+q

如果安全库存v>0，那么对于所有的t：
I(t)>v>0 且长期平均缺货订单B(t)=0
如果安全库存v<-q，(此时v<0)那么，对于所有的t：
I(t)=0 且 B(t)>-(v+q)>0
上述两个结论都不好：在第一种情况下，拥有的库存超过了实际需求，而第二种情况下，我们永远无法满足所有的延期交货订单，因此，我们需要关注-q<=v<=0这一范围；

v是一个负数，y也是如此，每一份到达的订单可满足当前所有延期交货订单。

一个周期由两部分构成：

u+y=(q+v)/lambda的长度，这一期间库存是被持有的
–y=-v/lambda的长度，这一期间延期交货订单会不断积累
这些区间相当于完整周期中的(q+v)/q和-v/q，具体地说：
缺货频率的平均值A=-v/q (? 这个公式在计算泊松分布的均值是可能会用到)

第一部分中，平均库存为1/2(q+v)；而第二部分，平均库存为0.故在整个周期中，平均库存为这些量的加权平均值：

同样，在周期第一部分中，平均延期交货订单为0，第二部分为1/2*(-v),故：
长期平均延期交货订单B：

由于周期长度u=q/lambda，故：
平均订货频率：

由于这些标准相互冲突，故将其统一转为货币去衡量，那么继续使用以前的成本因子k（固定成本），c（变动成本），h（持有成本）以及一个与延期交货订单相关的惩罚因子b

基于此，上述总平均成本变为：

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