24点计算器问题[C++实现]

24 点游戏是一个很有意思的数字游戏，也是一道常见的算法面试题。题目是这样的：任给四个数（为了便于人们心算或口算，一般都是小于 10 的数），对四个数字用各种组合进行加、减、乘、除四则运算，看看结果是否能等于 24？对于面试题来说，这是一个典型的穷举类型算法问题。这个题目比较有意思的地方是它除了要对数字组合进行枚举，还要对四个运算符进行组合。我们要介绍的方法有点特殊，它没有简单地使用穷举遍历，而是采用穷举法和分治法相结合的方法来解决这个问题，这种方法比数字 + 运算符一起枚举的方法简单，容易理解，整个算法只有大约 40 行有效代码，其中主体部分有效代码只有不到 20 行，快来看看是怎么回事儿吧。

问题分析和建模

这个算法的难点主要两个

数字的运算符和穷举遍历
将四则运算表达式作为结果输出

引言部分提到过，我们这个方法会用到分治法，分治法的主要特点之一就是通过分解子问题的方式减小问题的规模，怎么划分子问题呢？子问题和原始问题必须是同构的，所谓同构就是问题必须是一样的，问题的模式不能变，能变的只是问题的规模。

对于这个问题来说，原始问题的规模是 4 个数字计算 24 点，那么分解子问题可以从两个方向考虑：

一种是只考虑减少问题的规模，对于这个问题来说，减少规模不就是变成 3 个数字计算 24 点吗？然后再减少为两个数字计算 24 点，以此类推，直到问题能够直接求解为止；
另一种是在减少问题规模的同时，调整结果的范围，同样，对这个问题来说，假如说我将问题规模从 4 个变成 3 个，被排除的数字是 3，那么子问题就应该变成“3 个数字计算 21 点”。进一步将问题规模减少成两个数字时，假如被排除的数字是 7，则子问题就变成“2 个数字计算 14 点”，以此类推，直到问题能直接解决为止。

我们的思路是每次从 4 个数字中任选两个，分别应用加、减、乘、除四种运算方法得到 4 个计算结果，每个计算结果与剩下的 2 个数字一起组成一个规模为 3 个数字的子问题，一共可以得到 4 个子问题，其变化过程如图所示（图中第一行的数字为 4 个数字的索引位置，第二行的数字分别是 4 个待计算数字，第三行是计算过程），使用第一个数字和第二个数字组合计算，得到了一组 4 个子问题，然后用第一个数字和第三个数字组合计算，得到了另一组 4 个子问题：

从 3 个数字中任选两个，然后应用加、减、乘、除四种运算方法得到 4 个计算结果，每个计算结果与剩下的 1 个数字组成一个规模为两个数字的子问题，又可以得到 4 个子问题。从 3 个数字中任选两个进行不重复的排列，可以得到 $P_{3}^{2} $= 6个组合结果，也就是说总共有 6 × 4 = 24 个规模为两个数字的子问题，下图展示了其中一组，也就是第一个数 3/7 和第二个数 3 的组合情况：

第三层组合计算将问题规模减少到1个数字

以上就是我们介绍的穷举法 + 分治法解决 24 点计算问题的算法分析过程。前面提到过，这个问题的难点有两个，上述分析过程解决了第一个，即数字和运算符的穷举遍历问题。**还有第二个问题，也就是将四则运算表达式作为结果输出的问题没有解决。**可能大家已经从几个图上看到了，图的第三行就是最后要输出的中缀表达式，这是怎么做到的呢？其实很简单，我们给每个数字都指定了一个“出身”，所谓的“出身”就是描述这个数字的来历，或者是计算过程。每个数字的“出身”记录了这个数字的计算过程，当数字被带入到子问题的时候，这个计算过程也跟着被带入到子问题，并随着子问题的求解过程一步一步带到最后。对于原问题来说，4 个数字的出身就是数字本身，当两个数字参与一次计算称为一个结果数字时，就将这两个数字的计算过程作为结果数字的“出身”。

好了，根据上面的分析，我们已经明确了问题和子问题的定义，就是“用 m 个数排列组合计算 24 点（1⩽m⩽4）（1\leqslant m \leqslant 4）（1⩽m⩽4）”。所以我们的子问题的参数就是 m 个数，考虑用数组来组织这 m 个数。每个数除了数字本身，还有一个出身，用以下数据结构来描述这个“数”：

typedef struct
{double num;std::string num_str;
}Number;

num_str 是这个数的“出身”，用字符串描述没问题，num是数字本身，但是数据类型用了 double，这也是实际计算过程的需要，毕竟从上图中也能看到，我们的计算方法是支持分数形式的，中间计算过程会出现浮点数，最终子问题定义就是 Calc24()函数的参数：

void Calc24(const std::vector<Number>& nums)
{//求解子问题
}//原始问题的定义
std::vector<Number> numbers = { { 3, "3" },{ 3, "3" },{ 7, "7" },{ 7, "7" } };
Calc24(numbers);

算法实现

递归作为一种算法的实现方式，与分治法是一对儿天然的好朋友

Calc24() 函数对子问题进行处理的时候，要对子问题规模是 1 个数的情况做处理，这实际上也是递归函数的退出（递归终止）条件。对于这个问题来说，当子问题的规模是 1 个数的时候，就要检查这个数是否是 24，如果是则输出一组结果，并退出递归处理；如果不是，说明这个穷举出来的结果是个无效结果，直接退出递归处理。这部分判断和处理的实现在第 4 行开始的 if (count == 1) 处理流程里，比较简单，就不多说了。对于子问题规模大于 1 的情况，就要选两个数进行计算，对于 Pn2P_{n}^{2}Pn2问题，常用的代码实现模式就是两重循环。

void Calc24(std::vector<Number>& nums)
{std::size_t count = nums.size();if (count == 1) //当只有一个数时，说明计算完成，可以判断结果了{if (nums[0].num == 24){std::cout << nums[0].num_str << " = " << nums[0].num << std::endl;}return;}//两重循环，从 nums 中找两个数的组合for (std::size_t i = 0; i < count; i++){for (std::size_t j = 0; j < count; j++){if (i == j) //排除相同的情况continue;for (auto& op : acops) //对四种运算进行枚举{Number new_num;//运算可能失败，比如除数是 0 的情况，不再继续处理这个运算符，相当于剪枝效果if (op(nums[i], nums[j], new_num)){std::vector<Number> sub_nums;//定义子问题sub_nums.push_back(new_num);//除了被选出来的两个数，将剩下的数加入子问题for (std::size_t k = 0; k < count; k++) {if ((k != i) && (k != j)){sub_nums.push_back(nums[k]);}}Calc24(sub_nums); //解决子问题}}}}
}

现在说说 acops，它是一个计算函数的数组，定义了对两个操作数的加、减、乘、除四种运算。std::function<…>是个可调用对象包装器，这里包装的是一个这样的调用接口：

bool (const Number&, const Number&, Number&)

这个接口有两个 const Number& 类型的入参，一个 Number& 类型的出参和一个 bool类型的返回值，两个入参是参与计算的操作数，出参是计算的结果。四个操作符对应的可调用对象是用lamda 表达式定义的操作函数。这些操作函数的的作用很简单，就是计算两个操作数，当然，还有很重要的一点，就是拼装计算结果的“出身”。前面分析算法的时候提到过，一个数的“出身”很重要，即使数字本身算对了，如果“出身”拼装的不正确，输出的结果也不正确。“出身”拼装很简单，就是将参与计算的两个数的“出身”用操作符连接在一起，然后两端加上一对儿括号，就得到结果数字的“出身”了。这里面只有除法比较特殊一点，因为被除数不能为 0，所以加了个判断。当其返回 false 的时候，相当于做了一次剪枝操作。

std::function<bool (const Number&, const Number&, Number&)> acops[] =
{[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) { dr.num = d1.num + d2.num; dr.num_str = '(' + d1.num_str + '+' + d2.num_str + ')';return true; },[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) { dr.num = d1.num - d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '-' + d2.num_str + ')';return true;},[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) {dr.num = d1.num * d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '*' + d2.num_str + ')';return true;},[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) {if (d2.num == 0)return false;dr.num = d1.num / d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '/' + d2.num_str + ')';return true;}
};

完整代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <functional>
#include <utility>typedef struct
{double num;std::string num_str;
}Number;std::function<bool (const Number&, const Number&, Number&)> acops[] =
{[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) { dr.num = d1.num + d2.num; dr.num_str = '(' + d1.num_str + '+' + d2.num_str + ')';return true; },[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) { dr.num = d1.num - d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '-' + d2.num_str + ')';return true;},[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) {dr.num = d1.num * d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '*' + d2.num_str + ')';return true;},[](const Number& d1, const Number& d2, Number& dr) {if (d2.num == 0)return false;dr.num = d1.num / d2.num;dr.num_str = '(' + d1.num_str + '/' + d2.num_str + ')';return true;}
};void Calc24(const std::vector<Number>& nums)
{std::size_t count = nums.size();if (count == 1) //当只有一个数时，说明计算完成，可以判断结果了{if (nums[0].num == 24){std::cout << nums[0].num_str << " = " << nums[0].num << std::endl;}return;}//两重循环，从numbers中找两个数的组合for (std::size_t i = 0; i < count; i++){for (std::size_t j = 0; j < count; j++){if (i == j) //排除相同的情况continue;for (auto& op : acops) //对四种运算进行枚举{Number new_num;//运算可能失败，比如除数是0的情况，不再继续处理这个运算符，相当于剪枝效果if (op(nums[i], nums[j], new_num)){std::vector<Number> sub_nums;//定义子问题sub_nums.push_back(new_num);//除了被选出来的两个数，将剩下的数加入子问题for (std::size_t k = 0; k < count; k++) {if ((k != i) && (k != j)){sub_nums.push_back(nums[k]);}}Calc24(sub_nums); //解决子问题}}}}
}int main()
{std::vector<Number> numbers = { { 3, "3" },{ 3, "3" },{ 7, "7" },{ 7, "7" } };//std::vector<Number> numbers = { { 1, "1" },{ 5, "5" },{ 5, "5" },{ 5, "5" } };//std::vector<Number> numbers = { { 1, "1" },{ 6, "6" },{ 8, "8" },{ 9, "9" } };//std::vector<Number> numbers = { { 2, "2" },{ 7, "7" },{ 6, "6" },{ 3, "3" } };Calc24(numbers);return 0;
}