手机的选购模型

TOPSIS方法

考虑影响购买手机的因素包括：手机的价格、手机的CPU性能、手机的外观：
对比的手机包括以下：iPhone13，华为P50，VIVO X70,小米 MIX 4
现在收集到几款手机的相关数据如下

	iPhone13	华为P50	VIVO X70	小米 MIX 4
价格	5999	4488	4299	5799
跑分	1700	1000	1171	1127
颜值	7	9	9	10

根据上面的数据我们可以得到这样一个矩阵 ( 5999 1700 7 4488 1000 9 4288 1171 9 5799 1127 10 ) 根据上面的数据我们可以得到这样一个矩阵 \begin{pmatrix} 5999 & 1700 &7 \\ 4488 & 1000 & 9\\ 4288 & 1171 &9 \\ 5799 & 1127 &10 \end{pmatrix} 根据上面的数据我们可以得到这样一个矩阵⎝⎜⎜⎛5999448842885799170010001171112779910⎠⎟⎟⎞

由于其中价格为费用形属性，而其他两项属性为效益形属性，因此我们对于价格进行取倒数处理得到矩阵A
A = ( 1 5999 1700 7 1 4488 1000 9 1 4288 1171 9 1 5799 1127 10 ) \bold A=\begin{pmatrix} \frac{1}{5999} & 1700 &7 \\ \frac{1}{4488} & 1000 & 9\\ \frac{1}{4288} & 1171 &9 \\ \frac{1}{5799} & 1127 &10\end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛59991448814288157991170010001171112779910⎠⎟⎟⎞
对于矩阵A中方的各列进行归一化操作之后得到矩阵A
A = ( 0.2096 0.3401 0.2 0.2803 0.2000 0.2571 0.2933 0.2342 0.2571 0.2168 0.2257 0.2857 ) \bold A=\begin{pmatrix} 0.2096 & 0.3401 &0.2 \\ 0.2803 & 0.2000 & 0.2571\\ 0.2933 & 0.2342 &0.2571 \\ 0.2168 & 0.2257 &0.2857\end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛0.20960.28030.29330.21680.34010.20000.23420.22570.20.25710.25710.2857⎠⎟⎟⎞

利用信息墒的计算公式分别计算每个属性的信息熵
f i = − Σ p l o g 2 ( p ) f_i=-\Sigma plog_2(p) fi=−Σplog2(p)
可以得到
f 价格 = 1.9840 f 跑分 = 1.9687 f 颜值 = 1.9884 f_{价格}=1.9840\\ f_{跑分}=1.9687\\ f_{颜值}=1.9884\\ f价格=1.9840f跑分=1.9687f颜值=1.9884
将信息熵作为权重得到权重矩阵为
w = ( 1.9840 1.9687 1.9884 ) w= \begin{pmatrix} 1.9840 \\ 1.9687\\ 1.9884 \end{pmatrix} w=⎝⎛1.98401.96871.9884⎠⎞
对于权重矩阵进行归一化操作之后得到权重矩阵为
w = ( 0.3339 0.3313 0.3363 ) w= \begin{pmatrix} 0.3339 \\ 0.3313\\ 0.3363 \end{pmatrix} w=⎝⎛0.33390.33130.3363⎠⎞

采用TOPSIS方法对于最优解进行确定
对于经过得到的矩阵进行模一化操作后的：
A = ( 0.0355 0.6651 0.3969 0.5848 0.3912 0.5103 0.7668 0.4852 0.5103 0.2629 0.4410 0.5670 ) \bold A=\begin{pmatrix} 0.0355\quad0.6651\quad 0.3969\\ 0.5848\quad0.3912\quad0.5103\\ 0.7668\quad0.4852\quad0.5103\\ 0.2629\quad0.4410\quad0.5670 \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛0.03550.66510.39690.58480.39120.51030.76680.48520.51030.26290.44100.5670⎠⎟⎟⎞

将模一化得到的A矩阵每个量乘上对应的权重得到V矩阵如下
V = ( 0.0118 0.2203 0.1243 0.1953 0.1296 0.1716 0.2560 0.1607 0.1716 0.0878 0.1461 0.1906 ) \bold V=\begin{pmatrix} 0.0118\quad0.2203\quad0.1243\\ 0.1953\quad0.1296\quad0.1716\\ 0.2560\quad 0.1607\quad 0.1716\\ 0.0878\quad0.1461\quad0.1906 \end{pmatrix} V=⎝⎜⎜⎛0.01180.22030.12430.19530.12960.17160.25600.16070.17160.08780.14610.1906⎠⎟⎟⎞

正理想解： v + = ( 0.2560 , 0.2203 , 0.1906 ) 负理想解： v − = ( 0.0355 , 0.1296 , 0.1243 ) 对于每种手机分别求出其到正理想解和负理想解到距离： S 1 + = 0.245999 S 1 − = 0.0937453 C 1 + = 0.275929 S 2 + = : 0.125028 S 2 − = : 0.166653 C 2 + = 0.571354 S 3 + = 0.0666796 S 3 − = 0.22765 C 3 + = : 0.773453 S 4 + = 0.189148 S 4 − = 0.086042 C 4 + = 0.312664 正理想解：v^{+}=(0.2560,0.2203,0.1906)\\ 负理想解：v^{-}=(0.0355,0.1296,0.1243)\\ \\ 对于每种手机分别求出其到正理想解和负理想解到距离：\\ S^{+}_{1}=0.245999\quad S^{-}_{1}=0.0937453\quad C^{+}_{1}=0.275929\\ S^{+}_{2}=:0.125028\quad S^{-}_{2}=:0.166653\quad C^{+}_{2}=0.571354\\ S^{+}_{3}=0.0666796\quad S^{-}_{3}=0.22765\quad C^{+}_{3}=:0.773453\\ S^{+}_{4}=0.189148\quad S^{-}_{4}=0.086042\quad C^{+}_{4}=0.312664\\ 正理想解：v+=(0.2560,0.2203,0.1906)负理想解：v−=(0.0355,0.1296,0.1243)对于每种手机分别求出其到正理想解和负理想解到距离：S1+=0.245999S1−=0.0937453C1+=0.275929S2+=:0.125028S2−=:0.166653C2+=0.571354S3+=0.0666796S3−=0.22765C3+=:0.773453S4+=0.189148S4−=0.086042C4+=0.312664

最终我们可以得到**C⁺**向量如下
C + = ( 0.275929 , 0.571354 , 0.773453 , 0.312664 ) 进行归一化之后吧得到的向量为： C + = ( 0.142717 , 0.295518 , 0.400048 , 0.161717 ) \bold C^{+}=(0.275929,0.571354,0.773453,0.312664) \\进行归一化之后吧得到的向量为：\bold C^{+}=(0.142717 ,0.295518, 0.400048, 0.161717) C+=(0.275929,0.571354,0.773453,0.312664)进行归一化之后吧得到的向量为：C+=(0.142717,0.295518,0.400048,0.161717)
进行比较后易发现iPhone13在几款手机当中距离正理想解的相对距离最近，因此这几款手机当中最值得购买的是iPhone13

层次分析法

1.建立层次结构模型

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-frxuBQ6M-1637650103110)(/Users/mac/Desktop/数学建模/买手机层次分析模型.jpg)]

2.构造判断矩阵

根据重要程度的判断构造如下的分析矩阵
$$
\bold A =\begin{pmatrix}
1\quad 1\quad 2\
1\quad 1 \quad 2\
1/2\quad 1/2\quad 1

\end{pmatrix}
$$
经过检验矩阵A具有一致性的特点

A的秩为1，A具有唯一非零特征根为 λ \lambda λ=3，对应的特征向量为
w = ( 0.6667 , 0.6667 , 0.3333 ) w=(0.6667,0.6667,0.3333) w=(0.6667,0.6667,0.3333)
进行归一化得到对应的权重向量为
w = ( 0.4 , 0.4 , 0.2 ) w=(0.4,0.4,0.2) w=(0.4,0.4,0.2)

3.层次单排序及其一致性检验

C I = λ − n n − 1 = 3 − 3 3 − 1 = 0 \bold CI=\frac{\lambda-n}{n-1}=\frac{3-3}{3-1}=0 CI=n−1λ−n=3−13−3=0

因此矩阵具有完全一致性

引入随机一致性指标***RI***得n=3时***RI***=0.58，因此一致性比较率 C R = C I R I = 0 < 0.1 CR =\frac{\bold CI}{\bold RI}=0<0.1 CR=RICI=0<0.1,因此通过一致性检验

对于A矩阵进行列归一化之后得到
A = ( 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 ) ⟹ 求行和归一化 ( 0.4 0.4 0.2 ) \bold A =\begin{pmatrix} 0.4\quad 0.4\quad0.4 \\ 0.4\quad 0.4\quad 0.4\\ 0.2\quad 0.2\quad0.2 \end{pmatrix}\stackrel{求行和归一化}{\Longrightarrow} \begin{pmatrix} 0.4\\ 0.4\\ 0.2 \end{pmatrix} A=⎝⎛0.40.40.40.40.40.40.20.20.2⎠⎞⟹求行和归一化⎝⎛0.40.40.2⎠⎞
得到最终精确结果为 λ \lambda λ=3, w = ( 0.4 , 0.4 , 0.2 ) w=(0.4,0.4,0.2) w=(0.4,0.4,0.2)

4.层次总排序及其一致性检验

方案层对于集中属性的比较矩阵

为了保证评价阶段足够客观，直接采用TOPSIS方法中给出的客观评价的值建立矩阵

方案层对于价格的比较矩阵
B 1 = ( 1 4488 5999 4299 5999 5999 4488 1 4299 4488 5999 4299 4488 4299 1 ) \bold B_{1}=\begin{pmatrix} 1\quad \frac{4488}{5999}\quad \frac{4299}{5999} \\ \frac{5999}{4488}\quad 1\quad \frac{4299}{4488} \\ \frac{5999}{4299}\quad \frac{4488}{4299} \quad1 \end{pmatrix} B1=⎝⎛159994488599942994488599914488429942995999429944881⎠⎞
其最大特征值为 λ 1 = 3 \lambda_1=3 λ1=3,对应的权向量为 w 1 = ( 0.2680 , 0.3581 , 0.3739 ) w_1=(0.2680,0.3581,0.3739) w1=(0.2680,0.3581,0.3739)

方案层对于跑分的比较方阵
B 2 = ( 1 17 10 1700 1171 10 17 1 1000 1171 1171 1700 1171 1000 1 ) \bold B_{2}=\begin{pmatrix}1\quad \frac{17}{10}\quad \frac{1700}{1171} \\\frac{10}{17}\quad 1\quad \frac{1000}{1171} \\\frac{1171}{1700}\quad \frac{1171}{1000} \quad1\end{pmatrix} B2=⎝⎛1101711711700171011171100017001171100011711⎠⎞

其最大特征值为 λ 2 = 3 \lambda_2=3 λ2=3，对应的权向量为 w 2 = ( 0.4391 , 0.2583 , 0.3025 ) w_2=(0.4391,0.2583,0.3025) w2=(0.4391,0.2583,0.3025)

方案层对于外观的比较矩阵
B 3 = ( 1 7 9 7 9 9 7 1 1 9 7 1 1 ) \bold B_{3}=\begin{pmatrix}1\quad \frac{7}{9}\quad \frac{7}{9} \\\frac{9}{7}\quad 1\quad 1 \\\frac{9}{7}\quad 1 \quad1\end{pmatrix} B3=⎝⎛1979779117911⎠⎞

其最大特征值为 λ 3 = 3 \lambda_3=3 λ3=3，对应的权向量为 w 3 = ( 0.2800 , 0.3600 , 0.3600 ) w_3=(0.2800,0.3600,0.3600) w3=(0.2800,0.3600,0.3600)

w²	0.4	0.4	0.2
	0.2680	0.4391	0.2800
w⁽³⁾	0.3581	0.2583	0.3600
	0.3739	0.3025	0.3600
λ k \lambda _k λk	3	3	3
C I k CI_k CIk	0	0	0

最终得到组合权值的结果如下
P 1 = 0.3388 P 2 = 0.3185 P 3 = 0.3425 P1=0.3388\\ P2=0.3185\\ P3=0.3425\\ P1=0.3388P2=0.3185P3=0.3425
经过比较最值得购买的手机为VIVO X70

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