C语言实现欧几里得算法与扩展欧几里得算法

1、欧几里得算法

1.1 原理阐述

欧几里得算法求最大公约数原理主要依赖于以下定理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。其证明过程如下：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d也是(b,a mod b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

1.3 C语言编程实现

以下是C语言程序代码：

#include

long Eucli(long a,long b,long &n)

{

if(b==0) return a;

{n=n+1;return Eucli(b,a%b,n);}

}

int main()

{

long a,b,n=0,d,t=0;

printf("enter the first number:\n");

scanf("%ld",&a);

printf("enter the second number:\n");

scanf("%ld",&b);

if(a

d=Eucli(a,b,n);

printf("gcd=%ld\n",d);

printf("迭代次数：%ld\n",n);

return 0;

}

下图是用VC6运行代码时的截图。

扩展欧几里得算法

2.1 原理阐述

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x和y，使它们满足等式： ax+by =?gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。即对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x和y，使得 gcd(a，b)=ax+by。

2.2 算法设计

扩展欧几里得算法，精髓在于对x和y的赋值。对于a' = b,b' = a % b 而言，我们求得 x,y使得 a'x + b'y = Gcd(a',b')由于b' = a% b = a - a / b * b 那么可以得到:a'x + b'y= Gcd(a',b') ，因而bx + (a - a / b * b)，y = Gcd(a',b') = Gcd(a,b)进而可得ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a,b)因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是y和(x-a/b*y)。具体流程图如下：

2.3 C语言编程实现

以下是C语言程序代码：

#include

long exEucli(long a,long b,long & x,long & y,long & n){

if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a;}

n+=1;

long r = exEucli(b, a%b, x, y,n);

long t = y;y = x - (a/b)*y;x = t;

return r;

}

int main()

{

long a,b,x,y,n=0,t;

printf("enter the first number:\n");

scanf("%ld",&a);

printf("enter the second number:\n");

scanf("%ld",&b);

if(a

exEucli(a,b,x,y,n);

printf("gcd=%ld\n",a*x+b*y);

printf("迭代次数：%ld\n",n);

return 0;

}

下图是在VC6中运行代码时的截图。

两种算法运行效率比较

通过对两种算法的原理进行研究，再结合以上两张截图，我们发现，76512348两数进行最大公约数的求解中，两种递归算法的迭代次数都是12次。但是，有所不同的是，在欧几里得算法中，每次迭代进行的操作是对a和b求余数。而在扩展欧几里得算法中，每次迭代时，除了要做一次求商的之外，还要做一次乘法和减法。因此，运用欧几里得算法和扩展欧几里得算法对两个整数求最大公约数时，欧几里得算法更为高效。

1

1

开始

对a和b进行赋值

b=t

a=b

t=mod(a，b)

结束

输出最大公约数b

a%b=0

N

Y

开始

x=t

y=x-(a/b)*y

t=y

结束

输出最大公约数a*x+b*y

b=0

输入a和b