线性代数知识点整理（自用）

线代部分知识点（无序）

矩阵等价与矩阵相似
行列式计算技巧
矩阵的初等变换与行列式值的关系
矩阵的特征值(特征根)和特征向量
方阵的行列式
伴随矩阵与逆矩阵
向量间的线性关系
向量组的秩（非0子式的最高阶数）
非齐次和齐次线性方程组有解判定
正交向量
其次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的结构
分块矩阵
实对称矩阵的对角化
注意事项：

矩阵等价与矩阵相似

等价：A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ,那么AB秩相等
相似：在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B
则称矩阵A与B相似，记为A~B
相似矩阵的特点：两者的秩相等；
两者的行列式值相等；
两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
两者拥有同样的特征多项式

行列式计算技巧

1.上三角行列式的值为主对角线数字乘积

矩阵的初等变换与行列式值的关系

第一类初等变换（换行换列）使行列式变号，第二类初等变换（某行或某列乘k倍）使行列式变k倍，第三类初等变换（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不变。

矩阵的特征值(特征根)和特征向量

1.A必须是方阵
2.Aα=λα\alpha=\lambda\ \alphaα=λ α(λ\lambdaλ可以为0，特征向量α\alphaα是非0列向量）
3.一个特征值可以对应多个特征向量，一个特征向量只能对应一个特征值
4.特征多项式：∣A−λE∣|A-\lambda E|∣A−λE∣
特征方程：∣A−λE∣=0|A-\lambda E|=0∣A−λE∣=0
5.λ\lambdaλ是A的特征值，α\alphaα是对应的特征向量，则cα\alphaα也是对应的特征向量（c≠0\ne0=0）
6.α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2是λ\lambdaλ的特征向量，则c1α1+c2α2c_1\alpha_1+c_2\alpha_2c1α1+c2α2也是特征向量。（前提是同一个特征值）
7.在解特征方程的时候若出现(λ−2)(λ−1)(λ−1)=0(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-1)=0(λ−2)(λ−1)(λ−1)=0,结论写成A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=2\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=2λ1=2,λ2=λ3=2(重根要写出来)
8.不同特征根的特征向量是线性无关的
9.若n阶方阵A可以相似于一个n阶对角矩阵，则称A可对角化，n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
10.特征值为0，则行列式的值为0.
11.特征值正是使得 |λE-A|=0 的那些根（可以用来一眼看出特征值）
12.特征向量的求法：(A-λE\lambda EλE)α\alphaα=0
13.特征值的积为行列式的值
特征值的和为矩阵的迹
14.特征值和特征向量的性质

转置后特征值不变
设λ\lambdaλ是A的特征值，λk\lambda^kλk是AkA^kAk的特征值
f(λ\lambdaλ)=a0+a1λ...+amλma_0+a_1\lambda...+a_m\lambda^ma0+a1λ...+amλm是f（A）=a0E+a1A+...+amAma_0E+a_1A+...+a_mA^ma0E+a1A+...+amAm的特征值
λ是可逆方阵A的特征值\lambda是可逆方阵A的特征值λ是可逆方阵A的特征值,1λ是A−1的特征值\frac{1}{\lambda}是A^{-1}的特征值λ1是A−1的特征值
逆矩阵与伴随矩阵与原来的矩阵有相同的特征向量
矩阵和的特征值等于特征值的和

方阵的行列式

1.∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|∣kA∣=kn∣A∣(因为kA是用k乘A里面的所有数)
2.∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣|ABC|=|A||B||C|∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣ （A,B，C同阶方阵）

伴随矩阵与逆矩阵

1.求伴随矩阵（任意方阵都有伴随矩阵）

求出所有元素的代数余子式
按行求的代数余子式按列放构成矩阵A∗A^*A∗

2.一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系

若R(A)=n,R(A∗)=nR(A)=n,R(A^*)=nR(A)=n,R(A∗)=n
若R(A)=n−1,R(A∗)=1R(A)=n-1,R(A^*)=1R(A)=n−1,R(A∗)=1
若R(A)<n−1,R(A∗)=0R(A)<n-1,R(A^*)=0R(A)<n−1,R(A∗)=0（即伴随矩阵为零矩阵）

3.逆矩阵

对角矩阵的逆矩阵为各元素的倒数
AB=AC，B=C的条件是A为可逆矩阵，因为左乘A的逆即可
逆矩阵的行列式为原矩阵的倒数
逆矩阵的特征值也为原矩阵的倒数

4.AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
当|A|≠0\ne0=0,∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1

5.(A∗)−1=A∣A∣(A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}(A∗)−1=∣A∣A
(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1A−1

向量间的线性关系

1.零向量可被任一向量组表示，k全取0
2.含零向量的任意向量组必线性相关
3.一个零向量必相关，一个非零向量必无关
4.一个向量组中，部分线性相关则整体线性相关。整体组线性无关，则部分线性无关。
5.线性无关的向量组，其接长向量组也无关。
线性相关的向量组，其截短向量组也相关。
6.n个n维向量，D≠0\ne0=0，则线性无关。
D=0，线性相关。（都是充要条件）
7.若向量组A：a1,a2,...,ama_1,a_2,...,a_ma1,a2,...,am线性无关，向量组B:a1,a2,a3,...am,ba_1,a_2,a_3,...a_m,ba1,a2,a3,...am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示法唯一
8.向量B能由向量组A线性表示，则A的秩大于等于B的秩

向量组的秩（非0子式的最高阶数）

1.极大线性无关组A0A_0A0定义:

向量组A0A_0A0:a1,a2,…,ar 线性无关
A中的任何向量均可由向量组A0A_0A0: a1,a2,a3...ara_1,a_2,a_3...a_ra1,a2,a3...ar线性表示

2.极大线性无关组：

一个线性无关的向量组其极大线性无关组是本身
任何一个向量组和它的极大线性无关组等价
极大线性无关组中所含向量个数为矩阵的秩

3.零向量的秩为0

4.r(A)<=min(向量的个数，向量的维数)
r(AB)<=min(r(A),r(B))
max(R(A),R(B)) <=R(A,B)<=R(A)+R(B)
R(A+B)<=R(A)+R(B)R(A+B)<=R(A)+R(B)R(A+B)<=R(A)+R(B)
5.初等行变换不改变列向量的线性关系
6.一个向量乘可逆矩阵，秩不变

非齐次和齐次线性方程组有解判定

1.线性方程组的向量表示形式
x1α1+x2α2+x3α3...=βx_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3...=\betax1α1+x2α2+x3α3...=β
2.线性方程组有解判定（n是未知量的个数）（不齐次的情况，即Ax=b（b≠0\ne0=0））
r(aˉ\bar aaˉ)=r(a)时，方程组有解，等于n有一个解
小于n有无穷多解
r(aˉ\bar aaˉ)≠\ne=r(a),无解
3.Ax=0有解判定（m为方程个数）
r（A）≤\le≤min(n,m)
当m<n时，一定有无穷多解，即有非0解
4.基础解系一定是线性无关的，并且是解向量的极大线性无关组，即每一个解向量都可以由基础解系表示

正交向量

1.x，y内积为0时称为正交（或垂直）
2.若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组，若一个向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组。
3.实矩阵是指矩阵中每个数都是实数的矩阵。
4.AATA^TAT=E或ATAA^TAATA=E，则n阶实矩阵 A称为正交矩阵。A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向量组为正交规范向量组。
5.正交矩阵的性质

|A|∣AT∣=1|A^T|=1∣AT∣=1,所以|A|=1或-1。
若n阶方阵满足AAT=E(即A−1=AT),称A为正交矩阵AA^T=E(即A^{-1}=A^T),称A为正交矩阵AAT=E(即A−1=AT),称A为正交矩阵

其次线性方程组解的结构

1.基础解系解的个数是n-r个
2.Ax=0Ax=0Ax=0
A=(α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3)
x=(1,2,3)T(1,2,3)^T(1,2,3)T的实质是α1+2α2+3α3=0\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3=0α1+2α2+3α3=0

非齐次线性方程组解的结构

1.若α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2均为Ax=b的解，则α1−α2\alpha_1-\alpha_2α1−α2为Ax=0的解。
2.α0\alpha_0α0是Ax=b的解，η\etaη是Ax=0的解，则α0+η\alpha_0+\etaα0+η是Ax=b的解。
3.AX=b的通解是AX=b的特解加上AX=0的基础解系的线性组合。

分块矩阵

1.分块矩阵的转置：

将块看作元素求矩阵的转置
每个子块求转置

2.分块矩阵求行列式
H=(AC0B)\begin{pmatrix} A&C\\ 0&B\\ \end{pmatrix}(A0CB)
|H|=|A||B|
H=(0ABC)\begin{pmatrix} 0&A\\ B&C\\ \end{pmatrix}(0BAC)
∣H∣=(−1)mn∣A∣∣B∣|H|=(-1)^{mn}|A||B|∣H∣=(−1)mn∣A∣∣B∣
(可由laplace定理证明)

3.分块矩阵求逆矩阵
(A00B)−1\begin{pmatrix} A&0\\ 0&B\\ \end{pmatrix}^{-1}(A00B)−1=(A−100B−1)\begin{pmatrix} A^{-1}&0\\ 0&B^{-1}\\ \end{pmatrix}(A−100B−1)

(0AB0)−1\begin{pmatrix} 0&A\\ B&0\\ \end{pmatrix}^{-1}(0BA0)−1=(0B−1A−10)\begin{pmatrix} 0&B^{-1}\\ A^{-1}&0\\ \end{pmatrix}(0A−1B−10)

实对称矩阵的对角化

1.α\alphaα的长度表示为∣∣α∣∣||\alpha||∣∣α∣∣,
(α,α\alpha,\alphaα,α)=∥∣α∣∣2\||\alpha||^2∥∣α∣∣2
2.施密特正交化
将一组线性无关的向量组α1,α2,...,αr\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_rα1,α2,...,αr转化为与之等价的正交向量组β1,β2,...,βr\beta_1,\beta_2,...,\beta_rβ1,β2,...,βr
β1=α1\beta_1=\alpha_1β1=α1
β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1
β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
βr=αr−(αr,β1)(β1,β1)β1−(αr,β2)(β2,β2)β2−...−(αr,βr−1)(βr−1,βr−1)βr−1\beta_r=\alpha_r-\frac{(\alpha_r,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_r,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-...-\frac{(\alpha_r,\beta_{r-1})}{(\beta_{r-1},\beta_{r-1})}\beta_{r-1}βr=αr−(β1,β1)(αr,β1)β1−(β2,β2)(αr,β2)β2−...−(βr−1,βr−1)(αr,βr−1)βr−1
3.实对称矩阵的相似理论

设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得PTAP=ΛP^TAP=\LambdaPTAP=Λ(Λ是对角矩阵\Lambda是对角矩阵Λ是对角矩阵)
n阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是由n个线性无关的特征向量
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交

注意事项：

1.奇异矩阵的秩不是满秩，也叫降秩矩阵，∣A∣=0|A|=0∣A∣=0。非奇异矩阵为满秩矩阵，行列式不为0，|A|≠0\ne0=0。
2.矩阵乘法一般不满足交换律，满足结合律
3.初等矩阵定义：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（初等矩阵一定可逆）
4.(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}(AT)−1=(A−1)T
5.矩阵左乘行变换，右乘列变换
6.反对称矩阵必有aij=−ajia_{ij}=-a_{ji}aij=−aji,所以对角线上的元素都是0
7.n阶子式的定义：在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列式交叉处的k²个元素，不zhi改变它们在A中所处的位置次序而的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。