MUSIC算法原理以及详细推导

Music算法叫做多信号分类算法（Multiple Signal Classification），Music算法的基本思想是将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征值分解，对应不同特征值的特征向量构成相互正交的信号子空间和噪声子空间，大特征值对应的特征向量构成的是信号子空间，小特征值对应的特征向量构成的是噪声子空间，然后利用两个子空间之间的正交性来估计信号的来波方向（DOA估计）。
假设N元等距线阵，阵元间距为d，信号的波长为λ，空间中有r个信源，那么接收到的观测信号可表示为
X(t)=∑i=1rsi(t)A(θi)+N(t)X(t)=\sum_{i=1}^rs_i (t)A(θ_i )+N(t)X(t)=i=1∑rsi(t)A(θi)+N(t)
其中，si(t)s_i (t)si(t)是第i个信号，θiθ_iθi是空间中第i个信号的入射角度，A(θi)A(θ_i)A(θi)可表示为
A(θi)=[1,ej2πdsin(θi)/λ,⋯,ej2π(N−1)dsin(θi)/λ]TA(θ_i )=[1,e^{j2πdsin(θ_i )/λ},⋯,e^{j2π(N-1)dsin(θ_i )/λ}]^TA(θi)=[1,ej2πdsin(θi)/λ,⋯,ej2π(N−1)dsin(θi)/λ]T
接收信号进一步可表示为
X(t)=AS(t)+N(t)X(t)=AS(t)+N(t)X(t)=AS(t)+N(t)
A=[A(θ1),A(θ2),⋯,A(θr)]A=[A(θ_1 ),A(θ_2 ),⋯,A(θ_r)]A=[A(θ1),A(θ2),⋯,A(θr)]
S(t)=[s1(t),s2(t),⋯,sr(t)]TS(t)=[s_1 (t),s_2 (t),⋯,s_r (t)]^TS(t)=[s1(t),s2(t),⋯,sr(t)]T
协方差矩阵为
R=E[X∗XT]=E[(AS(t)+N(t))∗(AS(t)+N(t))T]=A∗RsAT+Rn=A∗RsAT+σ2IR=E[X^* X^T ]=E[(AS(t)+N(t))^* (AS(t)+N(t))^T ] =A^* R_s A^T+R_n=A^* R_s A^T+σ^2 IR=E[X∗XT]=E[(AS(t)+N(t))∗(AS(t)+N(t))T]=A∗RsAT+Rn=A∗RsAT+σ2I
上式中，噪声是高斯白噪声（服从均值为0，方差为σ2σ^2σ2）
定理1：方阵A酉相似于对角矩阵的充要条件是：A为正规阵（实或复）
定理2：对于实矩阵A，若满足ATA=AATA^T A=AA^TATA=AAT，则A为正规阵
对于复矩阵A，若满足AHA=AAHA^H A=AA^HAHA=AAH，则A为正规阵
由于协方差矩阵为厄米矩阵（RsH=RsR_s^H= R_sRsH=Rs），厄米矩阵是正规矩阵，所以协方差矩阵RsR_sRs酉相似于对角矩阵
Rs=QΛQHR_s=QΛQ^HRs=QΛQH
其中，QHQ=IQ^H Q=IQHQ=I，Λ=diag(λ1,λ2,…,λL)Λ= diag(λ_1,λ_2,…,λ_L)Λ=diag(λ1,λ2,…,λL)
R=Q(Λ+σ2I)QHR=Q(Λ+σ^2 I)Q^HR=Q(Λ+σ2I)QH
其中，Λ的对角线上r个元素的正数，其余元素均为零。R的r个大的特征值对应的特征向量张成的子空间为信号子空间，其余的L+1-r个小特征值对应的特征向量张成的子空间为噪声子空间。
定理3：R为正定或者半正定矩阵，所有特征值为大于等于零的正实数
证明：
Rqn=λnqnRq_n=λ_n q_nRqn=λnqn
若权向量为特征向量q_n，则输出信号为:y(t)=qnTXy(t)=q_n^T Xy(t)=qnTX
输出信号的功率为:E[∣y(t)∣2]=E[(qnTX)∗(qnTX)T]=qnHRqn≥0E[|y(t)|^2 ]=E[(q_n^T X)^* (q_n^T X)^T ]=q_n^H Rq_n≥0E[∣y(t)∣2]=E[(qnTX)∗(qnTX)T]=qnHRqn≥0
qnHRqn=λnqnHqn≥0q_n^H Rq_n=λ_n q_n^H q_n≥0qnHRqn=λnqnHqn≥0
∵qnHqn≥0∵q_n^H q_n≥0∵qnHqn≥0
∴λn≥0∴λ_n≥0∴λn≥0
定理4：R不同特征值对应的特征向量相互正交
将一组完备的正交基分为信号子空间和噪声子空间
Us=span[q1,q2,…,qr]U_s=span[q_1,q_2,…,q_r]Us=span[q1,q2,…,qr]
Un=span[q(r+1),…,qN]U_n=span[q_(r+1),…,q_N]Un=span[q(r+1),…,qN]
∵Rqn=σ2Iqn,n=r+1,…,N∵Rq_n=σ^2 Iq_n,n=r+1,…,N∵Rqn=σ2Iqn,n=r+1,…,N
将R=A∗RsAT+σ2IR=A^* R_s A^T+σ^2 IR=A∗RsAT+σ2I带入得到
(A∗RsAT+σ2I)qn=σ2qn(A^* R_s A^T+σ^2 I) q_n=σ^2 q_n(A∗RsAT+σ2I)qn=σ2qn
化简得到
A∗RsATqn=0A^* R_s A^T q_n=0A∗RsATqn=0
因为ATA∗A^T A^*ATA∗是r维满秩矩阵，(ATA∗)−1(A^T A^* )^{-1}(ATA∗)−1 存在，而RsR_sRs也是满秩的（r维），则对上式左乘Rs−1(ATA∗)−1ATR_s^{-1} (A^T A^* )^{-1} A^TRs−1(ATA∗)−1AT
Rs−1(ATA∗)−1ATA∗RsATqn=0R_s^{-1} (A^T A^* )^{-1}A^T A^* R_s A^T q_n=0Rs−1(ATA∗)−1ATA∗RsATqn=0
∴ATqn=0,n=r+1,…,N∴A^T q_n=0,n=r+1,…,N∴ATqn=0,n=r+1,…,N
上式表明：信号来波方向的相位矢量A与噪声特征值对应的特征向量正交。
对协方差矩阵R进行特征值分解，并将特征值从到到小排列，其中第r+1到第N个特征值对应的特征向量就是噪声子空间的基。定义一个噪声矩阵
En=[qr+1,…,qN]E_n=[q_{r+1},…,q_N ]En=[qr+1,…,qN]
如果θ_i方向是信号的来波方向，则
(AT(θi)qn)∗(AT(θi)qn)T=AH(θi)qn∗qnTA(θi)=0,n=r+1,…,N(A^T (θ_i ) q_n)^* (A^T (θ_i ) q_n )^T=A^H (θ_i ) q_n^* q_n^T A(θ_i )=0,n=r+1,…,N (AT(θi)qn)∗(AT(θi)qn)T=AH(θi)qn∗qnTA(θi)=0,n=r+1,…,N
即
AH(θi)En∗EnTA(θi)=0A^H (θ_i ) E_n^* E_n^T A(θ_i )=0AH(θi)En∗EnTA(θi)=0
根据上式构造空间谱
Pmusic=1/(AH(θi)PNA(θi))P_{music}=1/(A^H (θ_i ) P_N A(θ_i))Pmusic=1/(AH(θi)PNA(θi))
其中,PN=En∗EnTP_N=E_n^* E_n^TPN=En∗EnT，使θiθ_iθi遍历空间搜索角度，当搜索到目标角度θ的时候，此时Pmusic(θ)P_{music }(θ)Pmusic(θ)有一尖峰。

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