【2015 NEERC - G 】Garden Gathering【距离计算变形、数学巧妙转换】

题意

给出 nnn 个二维坐标点，要求给出两个点的编号满足此两点间距离最远，仅允许走 454545 度斜边与网格边。(2≤n≤2∗105,∣xi∣,∣yi∣≤107)(2\leq n\leq 2*10^5, |x_i|,|y_i|\leq 10^7)(2≤n≤2∗105,∣xi∣,∣yi∣≤107)

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思路

此题仅允许走斜边与网格边，而非最短路径，因此不同于之前仅考虑最短路径的做法，即求凸包直径。（不过此题直接求凸包直径貌似也能过，应该是因为此种新定义的路径与绝对路径间的差值不大有关）

此题求法非常巧妙，我们可以先列举下述四种情况，对整体题目有一个大致把握。

上述四种情况中，红色边为真实路径，因此我们可以列出路径的计算公式如下。
(1)dis=[(2−1)∗x1+y1]−[(2−1)∗x2+y2](2)dis=[(2−1)∗x1−y1]−[(2−1)∗x2−y2](3)dis=[x1+(2−1)∗y1]−[x2+(2−1)∗y2](3)dis=[x1−(2−1)∗y1]−[x2−(2−1)∗y2](1) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1+y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2+y_2] \\ (2) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1-y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2-y_2] \\ (3) \ dis = [x_1+(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2+(\sqrt2-1)*y_2] \\ (3) \ dis = [x_1-(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2-(\sqrt2-1)*y_2] \\ (1) dis=[(2−1)∗x1+y1]−[(2−1)∗x2+y2](2) dis=[(2−1)∗x1−y1]−[(2−1)∗x2−y2](3) dis=[x1+(2−1)∗y1]−[x2+(2−1)∗y2](3) dis=[x1−(2−1)∗y1]−[x2−(2−1)∗y2]
此四种情况即为本题计算答案时所有的情况，不难发现，对于情况一来说，如果采用的公式非公式 (1)(1)(1)，则 disdisdis 会变小，即对于每一种情况来说，只有使用其情况所对应的公式才能获得最大的 disdisdis 值，所以我们可以对于上述的四种情况分别计算。

以情况 (1)(1)(1) 为例，每次选取 (2−1)∗x1+y1(\sqrt2-1)*x_1+y_1(2−1)∗x1+y1 的最大值和最小值，然后最大值减去最小值即为该情况下的两点距离最大值。

总结

此做法不单适应于本题，如果题目改为只能走网格边或者变成切比雪夫坐标系，本做法都可以非常简单地解决。因此该做法的思想比较精妙，需要掌握！

代码

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 2e5+100;
const double inf = 1e16;
const double E = sqrt(2)-1;
using namespace std;double X[N], Y[N], ans, f[4][2] = {{E,1},{E,-1},{1,E},{1,-E}};
int n, p1, p2, id1, id2;int main(){scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf",&X[i],&Y[i]);for(int k = 0; k < 4; k++){double maxn = -inf, minn = inf;for(int i = 1; i <= n; i++){double cur = X[i] * f[k][0] + Y[i] * f[k][1];if(cur > maxn) maxn = cur, id1 = i;if(cur < minn) minn = cur, id2 = i;}if(ans < maxn-minn) ans = maxn-minn, p1 = id1, p2 = id2;}printf("%d %d\n", p1, p2);
}

后记

博观而约取，厚积而薄发。

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【2015 NEERC - G 】Garden Gathering【距离计算变形、数学巧妙转换】

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