现代通信原理10.1：带宽无限信道下采用低通滤波器（LPF）接收时的误码性能分析

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1、为何要分析数字系统的误码率？
2、采用低通滤波器接收时的的频带无限二进制基带传输系统误码性能分析
- 2.1 二进制基带传输系统误码性能分析模型
- 2.2 双极性系统误码率
- - 2.2.1 判决变量的概率密度函数
  - 2.2.2 错误概率推导
  - 2.2.3 最佳判决门限
- 2.3 单极性系统误码率
- - 2.3.1 判决变量的概率密度函数
  - 2.3.2 错误概率推导
- 2.4 AMI系统误码率分析
- 2.5 单极性码、双极性码、AMI码误码性能比较

1、为何要分析数字系统的误码率？

从《现代通信原理8.3：数字通信系统常用性能指标》中我们知道，系统的误码率定义为错误的码元个数除以传输的总码元个数。例如，如果传送了100万个码元，其中有54个码元出错，我们可以得到误码率为5.4×10−55.4\times 10^{-5}5.4×10−5。、
显然，尽管上述计算方法可以获得误码率，但我们必须先要有了通信系统，不论是实际工作的通信系统，还是仿真系统，进行了随机试验，比如确实发送1百万个码元，对错误码元进行测试统计，才能够得到结果。
这就带来两个问题。一方面，我们在设计一个新的系统时，可能会希望首先知道它的误码率如何，确定它能够满足自己的需要的时候，才会对其进行仿真或者实现。第二方面，即使我们有了这样的实际系统或者仿真系统，测试误码率的实际结果可能会花费大量时间。因为误码率结果只有在测试样本足够大的前提下，才可能较为准确（就像我们需要把硬币扔足够多次，其正面向上的概率才能够非常接近0.5一样）。
因此，我们希望是否能够通过理论分析的方法，来获得误码率的结果。这个结果实际上是码元错误的概率，而上述测试得到的结果会无限接近这个概率。因而，对各类系统的误码性能进行理论分析，是非常重要且活跃的研究领域。

2、采用低通滤波器接收时的的频带无限二进制基带传输系统误码性能分析

2.1 二进制基带传输系统误码性能分析模型

下面我们来看二进制基带系统的误码率分析模型，如图1所示，事实上也就是数字基带传输系统模型，我们希望能够得到{bn}\{b_n\}{bn}与{b^n}\{\hat b_n\}{b^n}的差错概率。

图1 数字基带传输系统模型

首先想要强调下这里我们所讨论的系统的特点：

二进制系统：发送波形为s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)；
信道带宽无穷大：
AWGN信道：
接收滤波器为低通滤波器：

在《现代通信原理9.2：数字基带传输系统模型》中，我们谈到，发射机发送的信号，经过信道之后到达接收端。这里考虑带宽无限信道，则接收信号为
r(t)=s(t)+nw(t).(1)\tag{1} r(t)=s(t)+n_w(t). r(t)=s(t)+nw(t).(1)该信号进入接收机，经过的第一个模块是接收滤波器，接收滤波器输出信号为
y(t)=r(t)∗gR(t).(2)\tag{2} y(t)=r(t)*g_R(t). y(t)=r(t)∗gR(t).(2)

下面我们来回答《现代通信原理9.2：数字基带传输系统模型》中提出的问题，接收滤波器的作用是什么呢？
回忆下在模拟系统中，进入接收机之后的第一个模块，也是滤波器。它的主要作用是尽量限制进入接收机的噪声功率，这样可以使得接收信号的信噪比尽量大，波形失真尽量小。
那么在数字系统里面，是否也是这样的思路呢？后面我们再来深入讨论。在这个部分，我们还是先从这个角度入手。也就是说，接收滤波器的第一个作用，是让有用信号能够无失真地通过的前提下，尽量限制噪声功率，因此这里我们把接收滤波器设计为低通滤波器。

如前所述，为了尽量限制进入接收机噪声功率，这里我们将接收滤波器设计为理想低通滤波器，其功率传递函数如图2(b)所示，带宽为BBB。下面我们来看(1)中的有用信号与AWGN经过滤波器之后会发生什么样的变化。

高斯白噪声
首先我们来看噪声部分。加性高斯白噪声nw(t)n_w(t)nw(t)功率谱密度如图2(a)所示，经过接收滤波器之后，变为低通AWGN，双边功率谱密度如图2©所示，其功率为Pn=N0BP_n=N_0BPn=N0B。
图2 噪声通过低通滤波器
有用信号
下面我们来看r(t)r(t)r(t)中有用部分信号。
前面我们谈到，这里考虑信道为带宽无限的，在这种情况下，我们一般会采用方波。
这里我们来看两个例子，即双极性不归零方波与单极性不归零方波，其示意图分别如图3(a)和(d)所示。需要注意的是，事实上这种波形所占据的频带是无穷大的（其分析详见《现代通信原理9.3：数字基带信号功率谱密度》，因此通过图2(b)中的低通接收滤波器，信号波形会有失真。为了简化分析，这里我们假定接收滤波器带宽BBB足够宽，波形失真可以忽略不计。

图3 单/双极性不归零方波波形示意图

从图1来看，接收滤波器输出信号可以表示为
y(t)=s(t)+n(t),y(t)=s(t)+n(t),y(t)=s(t)+n(t),这里的n(t)=nw(t)∗gR(t)n(t)=n_w(t)*g_R(t)n(t)=nw(t)∗gR(t)，由于接收滤波器采用带宽为BBB的理想低通滤波器，因此其功率谱密度PN(f)P_N(f)PN(f)如图2(c )所示。
y(t)y(t)y(t)经过抽样器，若在每个码元的t0t_0t0时刻抽样，这里0≤t0≤Ts0\le t_0\le T_s0≤t0≤Ts，则在第nnn个码元周期，可以得到判决变量为
yn=y(nTs+t0),y_n=y(nT_s+t_0),yn=y(nTs+t0),在判决模块中，判决变量与判决门限VTV_TVT进行比较，就可以得到恢复的信息比特b^n\hat b_nb^n。下面，我们分别讨论双极性和单极性两种情况。

2.2 双极性系统误码率

2.2.1 判决变量的概率密度函数

下面我们来对双极性系统误码率进行分析。由于y(t)=s(t)+n(t)y(t)=s(t)+n(t)y(t)=s(t)+n(t)，我们考虑当前码元[0,Ts][0,T_s][0,Ts]，通过抽样，在码元波形的t0t_0t0时刻抽出一个随机变量yyy作为判决变量，即
y=y(t0)=s(t0)+n(t0),0≤t≤Ts,(7)\tag{7} y=y(t_0)=s(t_0)+n(t_0),\quad 0\le t\le T_s, y=y(t0)=s(t0)+n(t0),0≤t≤Ts,(7)由于为双极性信号，从图3(a)-( c)可以得到
y={A+n,发"1"−A+n,发"0"(8)\tag{8} y=\left\{\begin{aligned} A+n,\quad 发"1"\\ -A+n, \quad 发"0" \end{aligned}\right. y={A+n,发"1"−A+n,发"0"(8)其中，n=n(t0)n=n(t_0)n=n(t0)为随机过程n(t)n(t)n(t)上的一个随机变量，且有n∼N(0,σn2)n\sim {\mathcal N}(0,\sigma_n^2)n∼N(0,σn2)，从图2(c )，我们已知其功率为σn2=N0B\sigma_n^2=N_0Bσn2=N0B。因此，我们可以得到判决变量yyy的概率分布为：
发"1"：y∼N(A,σn2)发"0"：y∼N(−A,σn2)(9)\tag{9} \begin{aligned} 发"1"：&y\sim {\mathcal N}(A,\sigma_n^2)\\ 发"0"：&y\sim {\mathcal N}(-A,\sigma_n^2) \end{aligned} 发"1"：发"0"：y∼N(A,σn2)y∼N(−A,σn2)(9)因此，我们可以得到发"0"以及发"1"时，判决变量的条件概率密度函数分别为
p(y∣"0")=12πσn2e−(y+A)22σn2p(y∣"1")=12πσn2e−(y−A)22σn2(10)\tag{10} p(y|"0")=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y+A)^2}{2\sigma_n^2}}\\ p(y|"1")=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_n^2}} p(y∣"0")=2πσn21e−2σn2(y+A)2p(y∣"1")=2πσn21e−2σn2(y−A)2(10)其示意图如图4(a)所示，可以看出，两条概率密度函数曲线形状相同，均值分别为−A-A−A和AAA。

图4 双/单极性判决变量条件概率密度函数示意图

2.2.2 错误概率推导

下面我们来求错误概率。图4(a)中，VTV_TVT为判决门限，判决准则如下：
b^n={1,y>VT0,y≤VT(11)\tag{11} \hat b_n=\left\{\begin{aligned} 1,\quad y>V_T\\ 0, \quad y\le V_T \end{aligned}\right. b^n={1,y>VT0,y≤VT(11)因此，如果发送的bn=1b_n=1bn=1，但y≤VTy\le V_Ty≤VT，则出现误码。显然，从图4(a)来看，阴影部分的面积，Pr(y≤VT∣"1"){\rm Pr}(y\le V_T|"1")Pr(y≤VT∣"1")，也就是发送bn=1b_n=1bn=1时的错误概率Pe1P_{e1}Pe1，它可以计算如下：
Pe1=Pr(y≤VT∣"1")=∫−∞VTp(y∣"1")dy=∫−∞VT12πσn2e−(y−A)22σn2dy=∫−∞VT12πσn2e−[(y−A)/σn]22d(y−Aσn)=∫−∞VT−Aσn12πe−z22dz=∫A−VTσn∞12πe−z22dz=Q(A−VTσn)(12)\tag{12} \begin{aligned} P_{e1}={\rm Pr}(y\le V_T|"1")&=\int_{-\infty}^{V_T}p(y|"1")dy\\ &=\int_{-\infty}^{V_T}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_n^2}}dy\\ &=\int_{-\infty}^{V_T}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{[(y-A)/\sigma_n]^2}{2}}d(\frac{y-A}{\sigma_n})\\ &=\int_{-\infty}^{\frac{V_T-A}{\sigma_n}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{z^2}{2}}dz\\ &=\int_{\frac{A-V_T}{\sigma_n}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{z^2}{2}}dz\\ &=Q{\Large(} \frac{A-V_T}{\sigma_n}{\Large)} \end{aligned} Pe1=Pr(y≤VT∣"1")=∫−∞VTp(y∣"1")dy=∫−∞VT2πσn21e−2σn2(y−A)2dy=∫−∞VT2πσn21e−2[(y−A)/σn]2d(σny−A)=∫−∞σnVT−A2π1e−2z2dz=∫σnA−VT∞2π1e−2z2dz=Q(σnA−VT)(12)因此，图4(1)中红色阴影部分面积就为发"1"时候的错误概率。
以后再进行误码率计算的时候，为了简便起见，有个简单方法求这一类高斯拖尾的面积。即Q函数中，分母为噪声的标准偏差σn\sigma_nσn，而分子为判决变量yyy的均值与判决门限VTV_TVT的差值的绝对值。这里由于均值为AAA，因此其差值绝对值为A−VTA-V_TA−VT。
我们来看看发“0”时的错误概率，由于噪声的标准偏差也为σn\sigma_nσn，判决变量yyy的均值−A-A−A与判决门限VTV_TVT的差值的绝对值为A+VTA+V_TA+VT，因此可以得到
Pe0=Pr(y>VT∣"0")=∫VT∞p(y∣"0")dy=Q(A+VTσn).(13)\tag{13} P_{e0}={\rm Pr}(y> V_T|"0")=\int_{V_T}^{\infty}p(y|"0")dy=Q{\Large(} \frac{A+V_T}{\sigma_n}{\Large)}. Pe0=Pr(y>VT∣"0")=∫VT∞p(y∣"0")dy=Q(σnA+VT).(13)这样我们就可以求得平均错误概率为
Pe=P0Pe0+P1Pe1,(14)\tag{14} P_e=P_0P_{e0}+P_1P_{e1}, Pe=P0Pe0+P1Pe1,(14)其中P0P_0P0和P1P_1P1分别为“0”和“1”的发送概率。

2.2.3 最佳判决门限

考虑双极性码，图(a)(b)(c )分别表示判决门限等于0、大于0和小于0的情况，而红色和橙色阴影部分面积，分别等于Pe1P_{e1}Pe1和Pe0P_{e0}Pe0。根据(12-14)，可以得到误码率为
Pe=P0Q(A+VTσn)+P1Q(A−VTσn).(15)\tag{15} P_{e}=P_0Q{\Large(} \frac{A+V_T}{\sigma_n}{\Large)}+P_1Q{\Large(} \frac{A-V_T}{\sigma_n}{\Large)}. Pe=P0Q(σnA+VT)+P1Q(σnA−VT).(15)不难看出，判决门限VTV_TVT的取值，会影响误码率的大小。这一点，从图5中不难看出。显然，如果发送概率P0=P1P_0=P_1P0=P1，则图5(a)对应的PeP_ePe最小；但如果P0>P1P_0>P_1P0>P1，我们当然希望Pe0P_{e0}Pe0能更小；而P0<P1P_0<P_1P0<P1，我们当然希望Pe1P_{e1}Pe1能更小。大家可以思考下，这两种发送概率不相等的情况，应该对应图5(b)还是图5(c )呢？
根据《附录10.A》，可知对于双极性码，最佳判决门限为
VT∗=σ02Aln⁡P0P1.(16)\tag{16} V_T^*=\frac{\sigma_0^2}{A}\ln \frac{P_0}{P_1}. VT∗=Aσ02lnP1P0.(16)

图5(b)中，Pe1>Pe0P_{e1}>P_{e0}Pe1>Pe0，因此对应于P1<P0P_1<P_0P1<P0的情况。这一点从(16)也可以推得，由于P1<P0P_1<P_0P1<P0,VT∗>0V_T^*>0VT∗>0。

图5 不同判决门限时错误概率示意图

根据(16)可知，若发送概率P0=P1P_0=P_1P0=P1，有VT∗=0V_T^*=0VT∗=0，代入(15)得到错误概率为
Pe=Q(Aσn)=Q(A2σn2)=Q(EsN0BTs),(15)\tag{15} P_{e}=Q{\Large(} \frac{A}{\sigma_n}{\Large)}=Q{\Large(} \sqrt{\frac{A^2}{\sigma_n^2}}{\Large)}=Q{\Large(} \sqrt{\frac{E_s}{N_0BT_s}}{\Large)}, Pe=Q(σnA)=Q(σn2A2)=Q(N0BTsEs),(15)其中，Es=A2TsE_s=A^2T_sEs=A2Ts为双极性信号的平均信号能量，σn2=n0B\sigma_n^2=n_0Bσn2=n0B为低通滤波器输出的噪声功率，B为低通滤波器带宽。

2.3 单极性系统误码率

2.3.1 判决变量的概率密度函数

下面我们分析单极性系统误码率。由于为单极性信号，从图3(a)-( c)，可以得到判决变量为
y={A+n,发"1"n,发"0"(16)\tag{16} y=\left\{\begin{aligned} A+n,\quad 发"1"\\ n, \quad 发"0" \end{aligned}\right. y={A+n,发"1"n,发"0"(16)其中，n=n(t0)n=n(t_0)n=n(t0)为随机过程n(t)n(t)n(t)上的一个随机变量，且有n∼N(0,σn2)n\sim {\mathcal N}(0,\sigma_n^2)n∼N(0,σn2)，σn2=N0B\sigma_n^2=N_0Bσn2=N0B。因此，我们可以得到判决变量yyy的概率分布为：
发"1"：y∼N(A,σn2)发"0"：y∼N(0,σn2)(17)\tag{17} \begin{aligned} 发"1"：&y\sim {\mathcal N}(A,\sigma_n^2)\\ 发"0"：&y\sim {\mathcal N}(0,\sigma_n^2) \end{aligned} 发"1"：发"0"：y∼N(A,σn2)y∼N(0,σn2)(17)因此，我们可以得到发"0"以及发"1"时，判决变量的条件概率密度函数分别为
p(y∣"0")=12πσn2e−y22σn2p(y∣"1")=12πσn2e−(y−A)22σn2(18)\tag{18} \begin{aligned} p(y|"0")&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{y^2}{2\sigma_n^2}}\\ p(y|"1")&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_n^2}} \end{aligned} p(y∣"0")p(y∣"1")=2πσn21e−2σn2y2=2πσn21e−2σn2(y−A)2(18)其示意图如图4(b)所示，可以看出，两条概率密度函数曲线形状相同，均值分别为000和AAA。

2.3.2 错误概率推导

下面我们来求错误概率。图4(b)中，VTV_TVT为判决门限，判决准则如下：
b^n={1,y>VT0,y≤VT(19)\tag{19} \hat b_n=\left\{\begin{aligned} 1,\quad y>V_T\\ 0, \quad y\le V_T \end{aligned}\right. b^n={1,y>VT0,y≤VT(19)因此，如果发送的bn=1b_n=1bn=1，但y≤VTy\le V_Ty≤VT，则出现误码。显然，从图4(b)来看，阴影部分的面积，Pr(y≤VT∣"1"){\rm Pr}(y\le V_T|"1")Pr(y≤VT∣"1")，也就是发送bn=1b_n=1bn=1时的错误概率Pe1P_{e1}Pe1，根据双极性部分提到的简单推导方法，可以得到为
Pe1=Q(A−VTσn)Pe0=Q(VTσn)(20)\tag{20} \begin{aligned} P_{e1}&=Q{\Large(} \frac{A-V_T}{\sigma_n}{\Large)}\\ P_{e0}&=Q{\Large(} \frac{V_T}{\sigma_n}{\Large)} \end{aligned} Pe1Pe0=Q(σnA−VT)=Q(σnVT)(20)这样我们就可以求得平均错误概率为
Pe=P0Q(VTσn)+P1Q(A−VTσn).(21)\tag{21} P_{e}=P_0Q{\Large(} \frac{V_T}{\sigma_n}{\Large)}+P_1Q{\Large(} \frac{A-V_T}{\sigma_n}{\Large)}. Pe=P0Q(σnVT)+P1Q(σnA−VT).(21)根据《附录10.A》，可知对于单极性码，最佳判决门限为
VT∗=A2+σ02Aln⁡P0P1.(22)\tag{22} V_T^*=\frac{A}{2}+\frac{\sigma_0^2}{A}\ln \frac{P_0}{P_1}. VT∗=2A+Aσ02lnP1P0.(22)若发送概率P0=P1P_0=P_1P0=P1，有VT∗=A2V_T^*=\frac{A}{2}VT∗=2A，代入(21)得到错误概率为
Pe=Q(A2σn)=Q(A24σn2)=Q(Es2N0BTs),(23)\tag{23} P_{e}=Q{\Large(} \frac{A}{2\sigma_n}{\Large)}=Q{\Large(} \sqrt{\frac{A^2}{4\sigma_n^2}}{\Large)}=Q{\Large(} \sqrt{\frac{E_s}{2N_0BT_s}}{\Large)}, Pe=Q(2σnA)=Q(4σn2A2)=Q(2N0BTsEs),(23)其中，Es=A2Ts2E_s=\frac{A^2T_s}{2}Es=2A2Ts为单极性信号的平均信号能量，σn2=n0B\sigma_n^2=n_0Bσn2=n0B为低通滤波器输出的噪声功率，B为低通滤波器带宽。

这里一定要注意，如果幅度AAA相等，图3中双极性信号和单极性信号的平均符号能量是不相等的。
对于双极性信号，其两个信号s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)的能量相等，即E1=E2=A2TsE_1=E_2=A^2T_sE1=E2=A2Ts，因此0、1等概情况下的平均信号能量为Es=E1+E22=A2TsE_s=\frac{E_1+E_2}{2}=A^2T_sEs=2E1+E2=A2Ts。
对于单极性信号，则s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)的能量不相等，其中E1=A2TsE_1=A^2T_sE1=A2Ts，E2=0E_2=0E2=0，因此0、1等概情况下的平均信号能量为Es=E1+E22=A2Ts2E_s=\frac{E_1+E_2}{2}=\frac{A^2T_s}{2}Es=2E1+E2=2A2Ts。

2.4 AMI系统误码率分析

下面我们分析AMI系统误码率。由于为单极性信号，从图3(a)-( c)，可以得到判决变量为
y={A+n,发"1"−A+n,发"1"n,发"0"(24)\tag{24} y=\left\{\begin{aligned} &A+n,&\quad 发"1"\\ &-A+n,&\quad 发"1"\\ &n, &\quad 发"0" \end{aligned}\right. y=⎩⎪⎨⎪⎧A+n,−A+n,n,发"1"发"1"发"0"(24)其中，n∼N(0,σn2)n\sim {\mathcal N}(0,\sigma_n^2)n∼N(0,σn2)，σn2=N0B\sigma_n^2=N_0Bσn2=N0B。因此，我们可以得到判决变量yyy的概率分布为：
发"1",+A：y∼N(A,σn2)发"1",−A：y∼N(−A,σn2)发"0"：y∼N(0,σn2)(25)\tag{25} \begin{aligned} 发"1",+A：&y\sim {\mathcal N}(A,\sigma_n^2)\\ 发"1",-A：&y\sim {\mathcal N}(-A,\sigma_n^2)\\ 发"0"：&y\sim {\mathcal N}(0,\sigma_n^2) \end{aligned} 发"1",+A：发"1",−A：发"0"：y∼N(A,σn2)y∼N(−A,σn2)y∼N(0,σn2)(25)因此，我们可以得到发"0"以及发"1"时，判决变量的条件概率密度函数分别为
p(y∣"0")=12πσn2e−y22σn2p(y∣"1",+A)=12πσn2e−(y−A)22σn2p(y∣"1",−A)=12πσn2e−(y+A)22σn2(26)\tag{26} \begin{aligned} p(y|"0")&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{y^2}{2\sigma_n^2}}\\ p(y|"1",+A)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_n^2}}\\ p(y|"1",-A)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_n^2}}e^{-\frac{(y+A)^2}{2\sigma_n^2}} \end{aligned} p(y∣"0")p(y∣"1",+A)p(y∣"1",−A)=2πσn21e−2σn2y2=2πσn21e−2σn2(y−A)2=2πσn21e−2σn2(y+A)2(26)其示意图如图6所示。

图6 AMI码判决变量概率密度函数

下面我们来求错误概率。由于有AAA、−A-A−A和0三种电平，因此有两种判决门限。可以求得"0"、"1"等概情况下的判决准则如下：
b^n={0,−A2≤y<A21,otherwise(27)\tag{27} \hat b_n=\left\{\begin{aligned} 0, &\quad -\frac{A}{2}\le y< \frac{A}{2}\\ 1, &\quad {\rm otherwise} \end{aligned}\right. b^n=⎩⎨⎧0,1,−2A≤y<2Aotherwise(27)因此，从图(6)可以得到为
Pe1=Q(A2σn)−Q(3A2σn)Pe0=2Q(A2σn)(28)\tag{28} \begin{aligned} P_{e1}&=Q{\Large(} \frac{A}{2\sigma_n}{\Large)}-Q{\Large(} \frac{3A}{2\sigma_n}{\Large)}\\ P_{e0}&=2Q{\Large(} \frac{A}{2\sigma_n}{\Large)} \end{aligned} Pe1Pe0=Q(2σnA)−Q(2σn3A)=2Q(2σnA)(28)这样我们就可以求得平均错误概率为
Pe=32Q(A2σn)−12Q(3A2σn).(29)\tag{29} P_{e}=\frac{3}{2}Q{\Large(} \frac{A}{2\sigma_n}{\Large)}-\frac{1}{2}Q{\Large(} \frac{3A}{2\sigma_n}{\Large)}. Pe=23Q(2σnA)−21Q(2σn3A).(29)

2.5 单极性码、双极性码、AMI码误码性能比较

根据(15)、（23）、（29），可以得到当接收滤波器为低通滤波器，发送信号为方波，且假设接收滤波器对接收信号波形没有影响的情况下，单极性码、双极性码、AMI码错误概率如表1所示。

表1 单极性码、双极性码、AMI码错误概率

教程标题	错误概率
单极性码	Pe=Q(A2σn)P_e=Q(\frac{A}{2\sigma_n})Pe=Q(2σnA)
双极性码	Pe=Q(Aσn)P_e=Q(\frac{A}{\sigma_n})Pe=Q(σnA)
AMI码	Pe=32Q(A2σn)−12Q(3A2σn)P_e=\frac{3}{2}Q(\frac{A}{2\sigma_n})-\frac{1}{2}Q(\frac{3A}{2\sigma_n})Pe=23Q(2σnA)−21Q(2σn3A)

图7所示为单极性码、双极性码、AMI码错误概率的错误概率曲线。其中横坐标为(Aσn)2(\frac{A}{\sigma_n})^2(σnA)2的对数值，其中A2A^2A2为抽样点处的瞬时功率，σn2=N0B\sigma_n^2=N_0Bσn2=N0B为噪声的平均功率；纵坐标为错误概率，注意我们一般用10的负数次幂的来表示。这主要是由于误码率一定是小于1的，而且往往非常小，比如10−410^{-4}10−4、10−610^{-6}10−6等。如果用线性坐标表示，就无法显示其差异。

图7 单极性码、双极性码、AMI码误码率曲线