载波为半波三角波的单相三阶SPWM逆变器—

电路模型介绍

电路工作原理：

电路图：

半波三角波的数学表示：
uc={−(wct−2πk)Ucπ+Uc2πk≤wct≤2πk+π(wct−2πk−π)Ucπ2πk+π≤wct≤2πk+2πk=0,1,2,3,...,N2(在半个周期内）（1）u_c=\begin{cases} -(w_ct-2\pi k)\frac{U_c}{\pi}+U_c & 2\pi k\le w_ct\le 2\pi k+\pi \\ (w_ct-2\pi k-\pi)\frac{U_c}{\pi} & 2\pi k+\pi \le w_ct\le 2\pi k+2\pi \\ \end{cases} k=0,1,2,3,...,\frac{N}{2} (在半个周期内）（1）uc={−(wct−2πk)πUc+Uc(wct−2πk−π)πUc2πk≤wct≤2πk+π2πk+π≤wct≤2πk+2πk=0,1,2,3,...,2N(在半个周期内）（1）
正弦调制波的方程式为：
us=Ussin(wst−φ)u_s=U_ssin(w_st-\varphi)us=Ussin(wst−φ)

令调制度UsUc=M≤1\frac{U_s}{U_c}=M \le1UcUs=M≤1,载波比wcws≫1\frac{w_c}{w_s}\gg1wswc≫1
三阶SPWM波的采样点是正弦波与三角波的交点，在交点上，uc=usu_c=u_suc=us,
在采样点a：Uasin(wst−φ)=−(wct−2πk)Ucπ+UcU_asin(w_st-\varphi)=-(w_ct-2\pi k)\frac{U_c}{\pi}+U_cUasin(wst−φ)=−(wct−2πk)πUc+Uc
令wct=X,wst−φ=Yw_ct=X,w_st-\varphi=Ywct=X,wst−φ=Y，则
X=2πk+π−πMsinYX=2\pi k+\pi-\pi MsinYX=2πk+π−πMsinY
在采样点b：X=2πk+π+πMsinYb：X=2\pi k+\pi +\pi MsinYb：X=2πk+π+πMsinY
按照生成输出脉冲波的方式，可以得到输出波形的分段表达式为：

uL={0X<2πk+π−πMsinY或X≥2πk+π+πMsinY+EX≥2πk+π−πMsinY或X<2πk+π+πMsinYu_L=\begin{cases} 0 & X<2\pi k+\pi-\pi MsinY 或 X \ge 2\pi k+\pi+\pi MsinY \\ +E & X \ge 2\pi k+\pi-\pi MsinY 或 X< 2\pi k+\pi+\pi MsinY \end{cases}uL={0+EX<2πk+π−πMsinY或X≥2πk+π+πMsinYX≥2πk+π−πMsinY或X<2πk+π+πMsinY
Y=wst−φ,X=wct,wcws=N,UsUc=MY=w_st-\varphi,X=w_ct,\frac{w_c}{w_s}=N,\frac{U_s}{U_c}=MY=wst−φ,X=wct,wswc=N,UcUs=M
谐波分析：由于图中的波形所示的三阶SPWM波形对称于原点，故uLu_LuL是奇函数，因此它的傅里叶级数表达式将只包含正弦项，不包含恒定分量与余弦项，又由于uLu_LuL波形是镜像对称的（分析傅里叶可以看一半了），因此它只包函正弦项中的奇数次谐波：
Amn+jBmn=Eπ2∫0π∫2πk+π−πMsinY2πk+π+πMsinYej(mX+nY)dXdY(1)A_{mn}+jB_{mn}=\frac{E}{\pi ^2} \int _{0}^{\pi}\int_{2\pi k+\pi-\pi MsinY}^{2\pi k+\pi+\pi MsinY}e^{j(mX+nY)}dXdY　(1)Amn+jBmn=π2E∫0π∫2πk+π−πMsinY2πk+π+πMsinYej(mX+nY)dXdY　(1)
化简关系为：Amn+jBmn=Ejmπ2ejmπ[∫0πej(mMsinY)＊ejnYdY−∫0πe−j(mMsinY)＊ejnYdY]A_{mn}+jB_{mn}=\frac{E}{jm\pi ^2}e^{jm\pi}[\int_{0}^{\pi}e^{j(mMsinY)}＊e^{jnY}dY-\int_{0}^{\pi}e^{-j(mMsinY)}＊e^{jnY}dY]Amn+jBmn=jmπ2Eejmπ[∫0πej(mMsinY)＊ejnYdY−∫0πe−j(mMsinY)＊ejnYdY]
由bessel理论可以有关系：
1π∫0πej(mMsinY)＊ejnYdY=Jn(mMπ)ejnπ−121π∫0πe−j(mMsinY)＊ejnYdY=Jn(mMπ)1−ejnπ2\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{j(mMsinY)}＊e^{jnY}dY=J_n(mM\pi)\frac{e^{jn\pi}-1}{2} \\ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-j(mMsinY)}＊e^{jnY}dY=J_n(mM\pi)\frac{1-e^{jn\pi}}{2} π1∫0πej(mMsinY)＊ejnYdY=Jn(mMπ)2ejnπ−1π1∫0πe−j(mMsinY)＊ejnYdY=Jn(mMπ)21−ejnπ
所以将关系代入化简得到输出的谐波表达式为：
Amn+jBmn=jEmπJn(mMπ)ejmπ[1−ejnπ](2)A_{mn}+jB_{mn}=\frac{jE}{m\pi }J_n(mM\pi)e^{jm\pi}[1-e^{jn\pi}] (2)Amn+jBmn=mπjEJn(mMπ)ejmπ[1−ejnπ](2)
当n为0或偶数时，1−ejnπ=01-e^{jn\pi}=01−ejnπ=0,所以Amn+jBmn=0A_{mn}+jB_{mn}=0Amn+jBmn=0
当n为奇数时，1−ejnπ=21-e^{jn\pi}=21−ejnπ=2,所以Amn+jBmn=j2EmπJn(mMπ)[cos(mπ)+jsin(mπ)]A_{mn}+jB_{mn}=\frac{j2E}{m\pi }J_n(mM\pi)[cos(m\pi)+jsin(m\pi)]Amn+jBmn=mπj2EJn(mMπ)[cos(mπ)+jsin(mπ)]
因为sin(mπ)=0sin(m\pi)=0sin(mπ)=0,所以Amn=0A_{mn}=0Amn=0,
Bmn=2EmπJn(mMπ)cos(mπ)B_{mn}=\frac{2E}{m\pi}J_n(mM\pi)cos(m\pi)Bmn=mπ2EJn(mMπ)cos(mπ)
当m=0m=0m=0时，A0n+jB0n=12π2∫−π+π∫−π+πuLejnYdXdYA_{0n}+jB_{0n}=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\pi}^{+\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}u_Le^{jnY}dXdYA0n+jB0n=2π21∫−π+π∫−π+πuLejnYdXdY
因为uLu_LuL为奇函数，故得：
B0n=1π2∫0π∫−ππuLsinnYdXdY=Eπ2∫0π∫2πk+π−πMsinY2πk+π+πMsinYsinnYdXdYB_{0n}=\frac{1}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u_LsinnYdXdY\\ =\frac{E}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\int_{2\pi k+\pi-\pi MsinY}^{2\pi k+\pi+\pi MsinY}sinnYdXdYB0n=π21∫0π∫−ππuLsinnYdXdY=π2E∫0π∫2πk+π−πMsinY2πk+π+πMsinYsinnYdXdY
求得当n=1n=1n=1时，B0n=MEB_{0n}=MEB0n=ME,当n≠1n\ne1n=1时，B0n=0B_{0n}=0B0n=0;
故可以得到三阶SPWM波的傅里叶级数表达式，为
uL=MEsin(ws−φ)+2Eπ∑m=1,2,3...∝∑n=±1,±3...∝cos(mπ)Jn(mMπ)msin[(mN+n)wst−nφ]u_L=MEsin(w_s-\varphi)+\frac{2E}{\pi}\sum_{m=1,2,3...}^{\propto}\sum_{n=\pm1,\pm3...}^{\propto}cos(m\pi)\frac{J_n(mM\pi)}{m}sin[(mN+n)w_st-n\varphi]uL=MEsin(ws−φ)+π2Em=1,2,3...∑∝n=±1,±3...∑∝cos(mπ)mJn(mMπ)sin[(mN+n)wst−nφ]
由此可以求出M=0.5或1M=0.5或1M=0.5或1时的通用频谱数值及相应的频谱分布如下：

结论：比较三阶和二阶SPWM的频谱图，可以知道三阶SPWM波形的谐波含量比载波采用全波三角波的二阶SPWM波形的谐波含量要小的多。当二阶SPWM波的载波比为三阶SPWM波的载波比的一半时，他们的频谱有很有趣的规律，即二阶SPWM波频谱中的m为2,4,6……的载波谐波的上下边频成分，分别与三阶SPWM波中m为1,2,3……相应成分完全一致；而二阶SPWM波中m为1,3,5……的载波、载波谐波及上下边频成分在三阶SPWM波中为零。另外还可以看出，当m=1时，对同样的M值，三阶SPWM波的谐波幅值，明显地比二阶SPWM波的幅值小，因此，三阶SPWM波具有更好的消除谐波的作用。

三阶SPWM波形产生方法：“相位参差”的方法：用两个相位相反而幅值相同的正弦调制波，与一个载波三角波进行比较，得到两个二阶SPWM波，使这两个二阶SPWM波相减，就得到了三阶SPWM波。或用两个相位相反而幅值相等的三角波与一个正弦波相比较，可以直接得到二阶SPWM波，其波形如下图所示，从波形图中可以看出，三阶SPWM波的脉冲数比二阶SPWM波增加了一倍，就好像是将三角波进行全波整流后再由正弦波进行调制的波形。

由二阶的表达式，可以知道：E′=E2E^{'}=\frac{E}{2}E′=2E

结论：可以看出采用“相位参差”的方式得到的三阶SPWM波，与直接采用半波三角波产生的三阶SPWM波的傅里叶分析的谐波表达式效果是一样的；从这里可以理解出相位相反的两阶SPWM波相减得到的一个wc=2wc′w_c=2w_c^{'}wc=2wc′,亦即N=2N′N=2N^{'}N=2N′(可以看出N是偶数），的三阶SPWM波，而两个二阶SPWM波中的载波、载波的奇次谐波，以及他们的上下边频都被消除掉了。
采用这种方法的控制电路为：

如果用减法器进行输出，则是用控制信号进行相位参差；如果用高速比较器输出，则是用逆变器主电路的两个臂进行相位参差；
为了采用相位参差法得到三阶SPWM波，N必须取偶数（因为N=2N′N=2N^{'}N=2N′,N′N{'}N′是整数，故N为偶数）。

图片参考来源：刘凤君的正弦波逆变器一书

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