摄动法求解动力学响应

[1]巨建民,刘新明,张书娜.一般阻尼动力系统非奇异摄动法[J].动力学与控制学报,2017,15(02):102-105.

一般阻尼动力系统非奇异摄动法

概念

主坐标：我们有多种定义坐标系的方式，但有一种使得运动微分方程的全部耦合项都不出现，这时坐标系下模型节点的坐标就叫主坐标。
主振动：自然频率(固有频率)对应的为固有振型(主振型，主模态)，振动是一种随时间变化的运动，归一化的振型Φi\Phi_iΦi与振幅aia_iai以及自然频率wiw_iwi以及相位ϕi\phi_iϕi构成了第iii阶主振动Φiaisin(wit+ϕi)\Phi_i a_i sin(w_i t + \phi_i)Φiaisin(wit+ϕi)，只有Φi\Phi_iΦi为向量。
第iii阶主质量由第iii阶主振型向量左右乘质量矩阵得到，第iii阶主刚度矩阵，第iii阶主阻尼矩阵同理。主质量矩阵由振型矩阵左右乘质量矩阵得到，主刚度矩阵与主阻尼矩阵同理。当然，第iii阶主质量就是主质量矩阵的对角线上的第iii个元素，主刚度同理，主阻尼不一定。
正则振型：归一化每阶振型时，固定将最后一个元素设为1。
主振型与正则振型满足正交性。
模态坐标与主坐标：模态坐标(正则坐标)下得出的质量矩阵为一个单位矩阵，刚度矩阵为一个对角矩阵；主坐标下得出的质量矩阵为一个对角矩阵，刚度矩阵为一个对角矩阵。
模态叠加法：我们首先要将模型从物理坐标(你所定义的坐标系下的坐标)导到模态坐标与主坐标中，x=Φηx=\Phi \etax=Φη，x为物理坐标，η\etaη为主坐标，x=Ψξx=\Psi \xix=Ψξ，ξ\xiξ为正则坐标。在这两种坐标下，n个常微分方程组是解耦的，求出的解即为运动形式，与振型相乘即为某阶的主振动，响应视为所有主振动的叠加，这是在两种坐标下得出的，需要通过转换矩阵导回到物理坐标下，即为最终响应。一般只用低阶振型与对应的运动形式叠加，即振型截断法。

一般阻尼动力系统非奇异摄动法

由于有了阻尼矩阵，微分方程间耦合，所以没办法使用模态叠加法求响应，本文通过摄动法加模态叠加法求响应。

MX′′+CX′+KX=fMX'' + CX' + KX = fMX′′+CX′+KX=f
模态阻尼矩阵Cmodal=ΦTCΦC_{modal} = \Phi^T C \PhiCmodal=ΦTCΦ，取其对角矩阵为CdC_dCd，Cr=Cmodal−CdC_r = C_{modal} - C_dCr=Cmodal−Cd，CdC_dCd称为主阻尼矩阵，CrC_rCr为剩余矩阵，其矩阵范数小于主阻尼矩阵，可将其作为摄动矩阵。
定义Cr=ϵCpC_r = \epsilon C_pCr=ϵCp，ϵ\epsilonϵ摄动量，CpC_pCp摄动矩阵
MX′′+(Cd+ϵCp)X′+KX=fMX'' + (C_d + \epsilon C_p)X' + KX = fMX′′+(Cd+ϵCp)X′+KX=f

设响应为X=X0+ϵX1+ϵ2X2+...X=X_0 + \epsilon X_1 + \epsilon^2 X_2 + ...X=X0+ϵX1+ϵ2X2+...

将响应带入振动力学方程，令等式两端小参数同阶的量相等
则可得到n个方程。
ϵ0\epsilon^0ϵ0，MX0′′+CdX0′+KX0=fMX_0'' + C_dX_0' + KX_0 = fMX0′′+CdX0′+KX0=f
ϵ1\epsilon^1ϵ1，MX1′′+CdX1′+KX1=−CpX0MX_1'' + C_dX_1' + KX_1 = -C_p X_0MX1′′+CdX1′+KX1=−CpX0
ϵ2\epsilon^2ϵ2，MX2′′+CdX2′+KX2=−CpX1MX_2'' + C_dX_2' + KX_2 = -C_p X_1MX2′′+CdX2′+KX2=−CpX1
…
求解第一个方程的解X0X_0X0，将其带入下一个方程，求得解X1X_1X1，经过几次迭代就可以使得响应达到一个满意的精度。

而对于每个矩阵微分方程的求解采用模态叠加法。
比如：
第一个方程，求解出模态坐标下的响应，通过振型矩阵将响应转换回到物理坐标(原始坐标)中，得到解X0X_0X0。
第二个方程，将X0X_0X0带入，求解出模态坐标下的响应，通过振型矩阵将响应转换回到物理坐标(原始坐标)中，得到解X1X_1X1。
对于剩下的方程同理。