P6647题解

考虑朴素的dp:

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示前i天去了j天的最大价值，转移显然：

dp[i][j]=max⁡x∈[j−k,j−1](dp[i−1][x]+max⁡s∈[x+1,j](as))dp[i][j]=\max\limits_{x\in[j-k,j-1]}(dp[i-1][x]+\max\limits_{s\in[x+1,j]}(a_s))dp[i][j]=x∈[j−k,j−1]max(dp[i−1][x]+s∈[x+1,j]max(as))

目前为止我们可以知道的优化就有两个：线段树优化以及单调栈分别优化dp+maxdp+maxdp+max和最大的a。

只有一个问题没有解决：在最小的天数内完成，这种带转移次数限制的让我们很自然的想到了wqs二分中的trick，我们可以在转移的时候-INF即可，那么最终的转移式子如下：

dp[j]=max⁡x∈[j−k,j−1](dp[x]+max⁡s∈[x+1,j](as))−infdp[j]=\max\limits_{x\in[j-k,j-1]}(dp[x]+\max\limits_{s\in[x+1,j]}(a_s))-infdp[j]=x∈[j−k,j−1]max(dp[x]+s∈[x+1,j]max(as))−inf

线段树只需要简单的单点、区间修改和区间查询即可,时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

其他细节可以见代码：

//Keep up your bright swords, for the dew will rust them.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAX=2e6+10;
const int MOD=1e9+7;
inline int read()
{int s=0,w=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')s=s*10+c-'0',c=getchar();
return s*w;
}
/*
如果要求在最小的时间里的最大那么可以在转移的时候减去INF，与wqs二分一样的套路
*/
int n,k;
int dp[MAX];
int a[MAX];
int t;
int sta[MAX],top;
const int INF=1e12;
//线段树维护dp[j]+max(j+1,i)
int maxx[MAX<<3],lazy[MAX<<3];
void pushup(int k)
{maxx[k]=max(maxx[k<<1],maxx[k<<1|1]);
}
void Add(int k,int l,int r,int w)
{lazy[k]+=w;maxx[k]+=w;
}
void pushdown(int k,int l,int r)
{int mid=l+r>>1;Add(k<<1,l,mid,lazy[k]);Add(k<<1|1,mid+1,r,lazy[k]);lazy[k]=0;
}
void change(int k,int l,int r,int x,int y,int w)
{if(x<=l&&r<=y){lazy[k]+=w;maxx[k]+=w;return;}pushdown(k,l,r);int mid=l+r>>1;if(x<=mid)change(k<<1,l,mid,x,y,w);if(y>mid)change(k<<1|1,mid+1,r,x,y,w);pushup(k);
}
int ask(int k,int l,int r,int x,int y)
{if(x<=l&&r<=y)return maxx[k];pushdown(k,l,r);int mid=l+r>>1;int res=-9*INF;if(y<=mid)return ask(k<<1,l,mid,x,y);else if(x>mid)return ask(k<<1|1,mid+1,r,x,y);else return max(ask(k<<1,l,mid,x,mid),ask(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y));
}//这里建议这么写，不然res的下界不好确定，其实大概-9e12差不多了
signed main()
{//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
n=read(),k=read();
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
top=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{while(top&&a[sta[top]]<=a[i]){change(1,0,n,sta[top-1],sta[top]-1,a[i]-a[sta[top]]);top--;}sta[++top]=i;change(1,0,n,i-1,i-1,dp[i-1]+a[i]);dp[i]=ask(1,0,n,max(0ll,i-k),i-1)-INF;
}
printf("%lld\n",dp[n]+((n-1)/k+1)*1ll*INF);//显然的向上取整
return 0;
}

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