无人机中的坐标系与相机姿态计算

球坐标系

球坐标系是三维坐标系中的一种，在无人机中一般使用球坐标系来表示相机姿态，相机姿态的坐标是相对于无人机的，而无人机的飞行姿态则是相对于大地坐标系的。这里我们使用的相机是2自由度的相机，即可以水平 ϕ\phiϕ 和垂直 θ\thetaθ 两个方向转动，其中 ϕ∈[0,2π]\phi \in [0,2\pi]ϕ∈[0,2π] 或 [−π,π][-\pi,\pi][−π,π]，θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi]θ∈[0,π]，这里 ρ\rhoρ 为球半径（默认我们使用右手坐标系）

球坐标与笛卡尔坐标的转换

在后面的计算中因为球坐标不方便作旋转变换，我们需要用到球坐标与笛卡尔坐标的坐标转换

球坐标到笛卡尔坐标

x=ρ∗sin(θ)∗cos(ϕ)x =\rho*sin(\theta)*cos(\phi)x=ρ∗sin(θ)∗cos(ϕ)

y=ρ∗sin(θ)∗sin(ϕ)y=\rho*sin(\theta)*sin(\phi)y=ρ∗sin(θ)∗sin(ϕ)

z=ρ∗cos(θ)z=\rho*cos(\theta)z=ρ∗cos(θ)

笛卡尔坐标到球坐标

ρ=x2+y2+z2\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}ρ=x2+y2+z2

θ=arccos(z÷ρ)\theta = arccos(z \div \rho)θ=arccos(z÷ρ)

ϕ=arctan(y,x)\phi=arctan(y,x)ϕ=arctan(y,x)

相机相对大地坐标系的姿态

为了计算方便，我们一般旋转坐标系将zzz轴向下，这个时候无人机机头方向即是 xxx 轴方向，ϕ\phiϕ即是相对于无人机机头的相机水平旋转角度，θ\thetaθ在垂直于无人机方向上为0度

在无人机飞行中，无人机平台由于飞行运动及气流运动等因素，会影响无人机的飞行姿态，这时搭载的相机姿态相对大地坐标系会发生变化，需要加入无人机姿态去计算修正，以便于更准确计算相机的观测位置

无人机姿态一般包括3个角度即：偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)、翻滚角(Roll)。偏行角一般指无人机相对北极的顺时针角度，也即整个坐标系沿 zzz 轴旋转的角度，我们一般要将这个角度转换为直角坐标系中的角度以便后续的计算，转换公式为 Yaw~=−(Yaw+ϕ~)+π/2\tilde{Yaw} = - (Yaw+\tilde{\phi} )+ \pi/2Yaw~=−(Yaw+ϕ~)+π/2，其中ϕ~\tilde{\phi}ϕ~为计算修正后的相机水平旋转角（计算修正时设置Yaw角度为0）。俯仰角即飞机的攻角或者飞机机头的俯仰角，在上面的坐标系中是沿 yyy 轴旋转的角度。翻滚角则是飞机左右倾斜的角度，在上面的坐标系中是沿 xxx 轴旋转的角度。以上需要注意的是偏航角与其他角不同，偏航角的旋转是整个坐标系，即将无人机坐标系转换为大地坐标系，这里没有使用位移量，需要时加上经纬度的偏移

三维空间的旋转矩阵

沿 xxx 轴的旋转

Rx(α)=[1000cos(α)−sin(α)0sin(α)cos(α)]R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1&0 & 0 \\ 0&cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\ 0&sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{bmatrix}Rx(α)=⎣⎡1000cos(α)sin(α)0−sin(α)cos(α)⎦⎤

沿 yyy 轴的旋转

Ry(β)=[cos(β)0sin(β)010−sin(β)0cos(β)]R_y(\beta)=\begin{bmatrix} cos(\beta)&0&sin(\beta) \\ 0&1 & 0 \\ -sin(\beta)&0&cos(\beta) \end{bmatrix}Ry(β)=⎣⎡cos(β)0−sin(β)010sin(β)0cos(β)⎦⎤

沿 zzz 轴的旋转

Rz(γ)=[cos(γ)−sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001]R_z(\gamma)=\begin{bmatrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma) &0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma) &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix}Rz(γ)=⎣⎡cos(γ)sin(γ)0−sin(γ)cos(γ)0001⎦⎤

合并旋转后的三维旋转矩阵

R3d=Rx(α)Ry(β)Rz(γ)R_{3d} = R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)R3d=Rx(α)Ry(β)Rz(γ)

代码实现

from math import *
import numpy as npdef rad(x):return radians(x)def deg(x):return degrees(x)def coord_sphere2cart(theta,phi, rho = 1):x = rho*sin(rad(theta))*cos(rad(phi))y = rho*sin(rad(theta))*sin(rad(phi))z = rho*cos(rad(theta))return x,y,zdef coord_cart2sphere(x,y,z):rho = sqrt(x**2+y**2+z**2)theta = acos(z/rho)phi = atan2(y,x)return rho,deg(theta),deg(phi)def uav_rot(x,y,z,RX,RY,RZ=0):R = rad(RX) #RollP = rad(RY) #PitchY = rad(RZ) #Yaw, set defalut to 0Rx = [[1,0,0],[0,cos(R),-sin(R)],[0,sin(R),cos(R)]]Ry = [[cos(P),0,sin(P)],[0,1,0],[-sin(P),0,cos(P)]]Rz = [[cos(Y),-sin(Y),0],[sin(Y),cos(Y),0],[0,0,1]]Rx = np.array(Rx)Ry = np.array(Ry)Rz = np.array(Rz)R3d = np.dot(np.dot(Rx,Ry),Rz)xyz = np.array([x,y,z])return np.dot(R3d,xyz)def camera_rectify(pan,tilt,yaw,pitch,roll):x,y,z = coord_sphere2cart(theta=tilt,phi=pan,rho=1)x_,y_,z_ = uav_rot(x,y,z,RX=roll,RY=pitch,RZ=yaw)rho,theta,phi = coord_cart2sphere(x_,y_,z_)pan = phitilt = thetareturn pan,tilt