【概述】

2-3 树是一种多路查找树，其满足于以下性质：

每个结点都具有两个孩子或三个孩子，具有两个孩子的结点称为 2 结点，具有三个孩子的结点称为 3 结点
2 结点包含一个元素和两个孩子，左子树包含元素小于根结点元素，右子树包含元素大于根结点元素
3 结点包含一大一小两个元素和三个孩子，左子树包含较小元素，右子树包含较大元素，中间子树包含介于两者之间的元素
所有的叶结点都在同一层

如上图，12、48、10、15、24、31 都是 2 结点，{18,33}、{23,30}、{20,21}、{45,47}、{50,52} 都是 3 结点。

当所有的叶结点都处于同一层时，那么这棵树就是树高平衡的，可见 2-3 树是树高平衡的，其能够以相对较低的代价保持树高平衡。

此外，容易从 2-3 树的定义推出树的叶结点个数与树的深度间的关系：

一个高度为 k 的 2-3 树至少有 2^(k-1) 个叶结点，此时每个分支结点都有 2 个孩子，形成一棵满二叉树的形状
一个高度为 k 的 2-3 树最多有 3^(k-1) 个叶结点，此时每个分支结点都有 3 个孩子，形成一棵满三叉树的形状

【查找】

在 2-3 树中，查找一个关键码的过程类似于在二叉排序树中的查找。

在 2-3 树中查找给定值 k 的过程是：

若 root 是空树，查找失败
若 k=root->data，查找成功
对于 2 结点，若 k<root->data，在 root 的左子树进行查找；若 k>root->data，在 root 的右子树进行查找
对于 3 结点，若 k<root->smallData，在 root 的左子树进行查找；若 k>root->bigData，在 root 的右子树进行查找；否则，在 root 的中间子树进行查找

上述过程一直持续到 k 被找到或者待查找的子树为空，若待查找的子树为空，则查找失败。值得注意的是，当查找失败时，恰好找到了以 k 为键值的新结点在二叉排序树中的插入位置。

以下图为例，要如果查找 24，首先查找根结点，由于 24 大于 smallData=18，小于 bigData 33，那么进入中间子树，在下一层中，同样进入中间分支，到达包含 24 的叶结点。

【插入】

在 2-3 树中，插入一个关键码的过程类似于在二叉排序树中的插入，新纪录同样是插入到叶结点中。

插入过程如下：

1.对于空树，直接插入一个 2 节点

2.找到被插入记录应该插入的叶结点

3.如果应插入位置的叶结点是 2 结点，直接将新纪录插入，将 2 结点升级为 3 结点

4.如果应插入位置的叶结点是 3 结点，则需将其分裂，拆分为两个 2 结点

1）设要插入的叶结点为 L，创建一个新结点 L'

2）L 得到三个关键码中最小的一个，L' 得到三个关键码中最小的一个

3）进行一次提升：将中间的关键码与一个指向 L' 的指针传回父结点，并将被提升的关键码插入父结点

4）如果父结点为 2 结点，那么重复步骤 3

5）如果父结点为 3 结点，那么重复步骤 4 的分裂-提升过程

例如：在下图中插入 14、55

1）插入 14 时：从根结点开始查找，到达存储 15 的叶结点，其是一个 2 结点，直接将 14 插入即可

2）插入 55 时：从根结点开始查找，到达存储 {50,52} 的结点，其是一个 3 结点，需要进行分裂，加入 55 后，三个关键码的值为 50、52、55，其中，令中值 52 提升，小值 50 与大值 55 作为父结点的叶结点

【删除】

在 2-3 树中，删除一个结点与插入一个结点相反。

其过程为：

1.所删除的元素位于非叶子的分支结点时，将树按中序遍历后得到的前驱或后继元素，用其补位即可。

2.所删除的元素位于 3 结点时，在该结点删除该元素即可，不会影响整棵树的结构。

3.所删除的元素位于 2 结点时，此时分为四种情况：

1）2 结点的父结点是 3 结点：此时将 3 结点进行拆分，根据删除要删除的元素的大小，将被拆分的点与 3 结点的子树进行合并

2）2 结点的父结点是 2 结点，且拥有一个 3 结点的右孩子：将父结点与右孩子一起进行左旋，令父结点的右孩子的较小值成为新的父结点，原先的父结点成为新的左孩子，原先的右孩子的较大值不做改变

3）2 结点的父结点是 2 结点，且拥有一个 2 结点的右孩子：先在不破坏 2-3 树的性质的前提下，将 2 结点的右孩子变为 3 结点的右孩子，然后删除要删除的元素，并将剩下的三个点进行左旋调整。

4）当前树是一个满二叉树：此时删除任意一个结点都会破坏 2-3 树的性质，需要考虑在不改变 2-3 树的顺序的情况下，将 2-3 树的层次减少一层。

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理论基础 —— 索引 —— 2-3 树

【概述】

【查找】

【插入】

【删除】

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