P2822 组合数问题

题目描述

组合数 C_n^mCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C_n^mCnm 的一般公式：

C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm=m!(n−m)!n!

其中 n!=1\times2\times\cdots\times nn!=1×2×⋯×n ；特别地，定义 0!=10!=1 。

小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk ，对于所有的 0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 C_i^jCij 是 kk 的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数 t,kt,k ，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据， kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m ，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式：

共 tt 行，每行一个整数代表所有的 0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 C_i^jCij 是 kk 的倍数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

1 2
3 3

输出样例#1：复制

输入样例#2：复制

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：复制

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 C_2^1 = 2C21=2 是2的倍数。

【子任务】

题解：杨辉三角求组合数，中间几组数据忽略了M<N就ＷＡ了，没预处理；求和在线的二维树状数组，可以先dp预处理更优；

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,k,t,N;
int k1, k2;
const int M = 2010;
ll c1[M][M],c2[M][M],a1[M][M],a2[M][M];
void add(int x, int y, int k){x++,y++;if(k == 1){for( ; x <= N; x += x&(-x))for(int j = y ; j <= N; j += j&(-j))a1[x][j]++;}if(k == 2){for( ; x <= N; x += x&(-x))for(int j = y ; j <= N; j += j&(-j))a2[x][j]++;}}
ll sum(int x, int y, int k){ll ans = 0;x++,y++;if(k == k1){for( ; x > 0; x -= x&(-x))for(int j = y ; j > 0; j -= j&(-j))ans += a1[x][j];}if(k == k2){for( ; x > 0; x -= x&(-x))for(int j = y ; j > 0; j -= j&(-j))ans += a2[x][j];}return ans;
}
void init(int a, int b, int n){k1 = a, k2 = b, N = n;c1[0][0] = c2[0][0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 0; j <= i; j++){if(!j)c1[i][j] = c2[i][j] = 1;else c1[i][j] = (c1[i - 1][j-1] + c1[i - 1][j]) % k1,c2[i][j] = (c2[i - 1][j-1] + c2[i - 1][j]) % k2;if(!c1[i][j])add(i, j, 1);if(!c2[i][j])add(i, j, 2);}}
int main()
{// freopen("problem.in","r",stdin);// freopen("problem.out","w",stdout);scanf("%d%d",&t,&k);switch(k){case 2: case 3: init(2, 3, 5);break;case 4: case 5: init(4, 5, 10);break;case 6: case 7: init(6, 7, 12);break;case 8: case 9: init(8, 9, 105);break;case 10: case 11: init(10, 11, 2005);break;case 12: case 13: init(12, 13, 75);break;case 14: case 15: init(14, 15, 105);break;case 16: case 17: init(16, 17, 105);break;case 18: case 19: init(18, 19, 2005);break;case 20: case 21: init(20, 21, 2005);break;}while(t--){scanf("%d%d",&n,&m);printf("%lld\n",sum(n, m, k));}return 0;
}

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P2827 蚯蚓

题目描述

本题中，我们将用符号 \lfloor c \rfloor⌊c⌋ 表示对 cc 向下取整，例如： \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3 。

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 nn 只蚯蚓（ nn 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 ii 只蚯蚓的长度为 a_iai ( i=1,2,\dots,ni=1,2,…,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 00 的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 pp （是满足 0 < p < 10<p<1 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 xx ，神刀手会将其切成两只长度分别为\lfloor px \rfloor⌊px⌋ 和 x - \lfloor px \rfloorx−⌊px⌋ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 00 ，则这个长度为 00 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 qq （是一个非负整常数）。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 mm 秒才能到来……（ mm 为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这 mm 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

mm 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 mm 个数）；
mm 秒后，所有蚯蚓的长度（有 n + mn+m 个数）。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

输入输出格式

输入格式：

第一行包含六个整数 n,m,q,u,v,tn,m,q,u,v,t ，其中： n,m,qn,m,q 的意义见【问题描述】； u,v,tu,v,t 均为正整数；你需要自己计算 p=u / vp=u/v （保证 0 < u < v0<u<v ）； tt 是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

第二行包含 nn 个非负整数，为 a_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an ，即初始时 nn 只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证 1 \leq n \leq 10^51≤n≤105 ， 0 \leq m \leq 7 \times 10^60≤m≤7×106 ， 0 < u < v \leq 10^90<u<v≤109 ， 0 \leq q \leq 2000≤q≤200 ， 1 \leq t \leq 711≤t≤71 ， 0 \leq a_i \leq 10^80≤ai≤108 。

输出格式：

第一行输出 \left \lfloor \frac{m}{t} \right \rfloor⌊tm⌋ 个整数，按时间顺序，依次输出第 tt 秒，第 2t2t 秒，第 3t3t 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出 \left \lfloor \frac{n+m}{t} \right \rfloor⌊tn+m⌋ 个整数，输出 mm 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 tt ，第 2t2t ，第 3t3t，……的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

输入输出样例

输入样例#1：复制

3 7 1 1 3 1
3 3 2

输出样例#1：复制

3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

输入样例#2：复制

3 7 1 1 3 2
3 3 2

输出样例#2：复制

4 4 5
6 5 4 3 2

输入样例#3：复制

3 7 1 1 3 9
3 3 2

输出样例#3：复制

//空行
2

说明

【样例解释1】

在神刀手到来前：3只蚯蚓的长度为3,3,2。

1秒后：一只长度为3的蚯蚓被切成了两只长度分别为1和2的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了1。最终4只蚯蚓的长度分别为(1,2),4,3。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断

2秒后：一只长度为4的蚯蚓被切成了1和3。5只蚯蚓的长度分别为：2,3,(1,3),4。

3秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。6只蚯蚓的长度分别为：3,4,2,4,(1,3)。

4秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。7只蚯蚓的长度分别为：4,(1,3),3,5,2,4。

5秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。8只蚯蚓的长度分别为：5,2,4,4,(1,4),3,5。

6秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。9只蚯蚓的长度分别为：（1,4),3,5,5,2,5,4,6。

7秒后：一只长度为6的蚯蚓被切断。10只蚯蚓的长度分别为：2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。所以，7秒内被切断的蚯蚓的长度依次为3,4,4,4,5,5,6。7秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为6,6,6,5,5,4,4,3,2,2

【样例解释2】

这个数据中只有t=2与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。

虽然第一行最后有一个6没有被输出，但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。

【样例解释3】

这个数据中只有t=9与上个数据不同。

注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

【数据范围】

题解：开三个队列，1存原来的，2存第一段，3存第二段，每次找3个队列中最大的，可以保证队列是单调递减的，证明如下：

if La > Lb, 经过m秒后， La1 = p * La + m*q, La2 = （1-P）* L a + m* q;

　　　　　此时砍B ， Lb1 = p*(Lb +m*q), Lb2 = (1-p) * (Lb + m*q); ( p < 1)

　　　　　　　　La1 > Lb1 , La2 > Lb2;

这道题卡常，最后合并3个队列时直接找，不要再开一个数组

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long long
ll w[4][8000005], a[8000005];
int h[4],tt[4];
const ll inf = 1e15;
bool cmp(ll a, ll b){return a>b;}
void read(ll &x){ll f=1;x=0;char s=getchar();while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}x*=f;
}int main()
{//freopen("earthworm.in","r",stdin);//freopen("earthworm.out","w",stdout);double p = 0;int cnt = 0, n, m, q, u, v, t;scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&q,&u,&v,&t);p = u*1.0 / v;for(int i = 1; i <= n; i++)read(w[1][i]);sort(w[1]+1,w[1]+1+n,cmp);h[1] = h[2] = h[3] = 1;tt[1] = n; tt[2] = tt[3] = 0;int tot = n;for(int i = 1; i <= m; i++){ll b, c, mx = -inf;tot++;int mh;for(int j = 1; j <= 3; j++)if(w[j][h[j]] > mx && h[j] <= tt[j]) mx = w[j][h[j]], mh = j;h[mh]++;//printf("%I64d %d  ",mx+cnt,mh);mx += cnt;if(i % t == 0)printf("%lld ",mx);b = floor(p*mx); c = mx- b;cnt += q;w[2][++tt[2]] = b-cnt; w[3][++tt[3]] = c-cnt;}printf("\n");int qq = 0;for(int i = 1; i <= tot; i++){ll mx = -inf;int mh;for(int j = 1; j <= 3; j++)if(w[j][h[j]] > mx && h[j] <= tt[j]) mx = w[j][h[j]], mh = j;h[mh]++;if(i%t == 0)printf("%lld ",mx+cnt);}return 0;
}

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P2831 愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 (0,0)(0,0) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax^2+bxy=ax2+bx 的曲线，其中 a,ba,b 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a < 0a<0 ， a,ba,b 都是实数。

当小鸟落回地面（即 xx 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 nn 只绿色的小猪，其中第 ii 只小猪所在的坐标为 \left(x_i,y_i \right)(xi,yi) 。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 \left( x_i, y_i \right)(xi,yi) ，那么第 ii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 \left( x_i, y_i \right)(xi,yi) ，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 (1,3)(1,3) 和 (3,3)(3,3) ，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=-x^2+4xy=−x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 TT 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数 TT ，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 TT 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,mn,m ，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 nn 行中，第 ii 行包含两个正实数 x_i,y_ixi,yi ，表示第 ii 只小猪坐标为 (x_i,y_i)(xi,yi) 。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0m=0 ，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1m=1 ，则这个关卡将会满足：至多用 \lceil n/3 + 1 \rceil⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2m=2 ，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 \lfloor n/3 \rfloor⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 1\leq n \leq 181≤n≤18 ， 0\leq m \leq 20≤m≤2 ， 0 < x_i,y_i < 100<xi,yi<10 ，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 \lceil c \rceil⌈c⌉ 和 \lfloor c \rfloor⌊c⌋ 分别表示对 cc 向上取整和向下取整，例如： \lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3 。

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

1
1

输入样例#2：复制

输出样例#2：复制

2
2
3

输入样例#3：复制

输出样例#3：复制

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

题解：原题还写错了，应该反思；

每只猪有打和不打两个状态，所以状压dp；

O(N*N*2^N) + O(N*N*N) 预处理

dp[s | g[i][j] ] = min(dp[s] +1), dp[0] = 0;

dp[s] 表示s状态需要多少只鸟， g[i][j] 是预处理的鸟的抛物线可以打那些猪；处理g[i][j]时没用的边踢掉，不然会T；

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int M = 20;
double x[M], y[M], a[M][M], b[M][M];
int g[M][M], dp[1<<20];
const double eps = 1e-6;
bool build(int i, int j){a[i][j] = (y[i]/x[i] - y[j]/x[j]) / (x[i] - x[j]);if(a[i][j] >= 0)return false;b[i][j] = (y[i] - a[i][j]*x[i]*x[i]) / x[i];return 1;
}
bool check(int i, int j, int k){double tmp = a[i][j]*x[k]*x[k] + b[i][j] * x[k];if(fabs(tmp - y[k]) < eps) return 1;return 0;
}
int main()
{//freopen("angrybirds.in","r",stdin);//freopen("angrybirds.out","w",stdout);int T, n, m;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);memset(g, 0, sizeof(g));memset(a, 0, sizeof(a));memset(b, 0, sizeof(b));for(int i = 0; i <= n; i++){for(int j = i+1; j <= n; j++){if(!i)g[i][j] = 1<<(j-1);else if(build(i, j)){g[i][j] |= 1<<(i-1);g[i][j] |= 1<<(j-1);for(int k = 1; k <= n; k++)if(check(i, j, k))g[i][j] |= (1<<(k-1));    }}}memset(dp, 127, sizeof(dp));dp[0] = 0;for(int s = 0; s < (1<<n); s++)for(int i = 0; i <= n; i++)for(int j = i; j <= n; j++)dp[s|g[i][j]] = min(dp[s|g[i][j]], dp[s]+1);printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);}return 0;
}

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O（N*2^N)，

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int M = 20;
double x[M], y[M], a[M][M], b[M][M];
int g[M][M], dp[1<<20];
const double eps = 1e-6;
inline bool build(int i, int j){a[i][j] = (y[i]/x[i] - y[j]/x[j]) / (x[i] - x[j]);if(a[i][j] >= 0)return false;b[i][j] = (y[i] - a[i][j]*x[i]*x[i]) / x[i];return 1;
}
inline bool check(int i, int j, int k){double tmp = a[i][j]*x[k]*x[k] + b[i][j] * x[k];if(fabs(tmp - y[k]) < eps) return 1;return 0;
}
inline int min(int a, int b){return a < b ? a : b;
}
int down(int s){int i = 0;while(!(s&(1<<i)))i++;return i+1;
}
int main()
{// freopen("angrybirds.in","r",stdin);// freopen("angrybirds.out","w",stdout);int T, n, m, cnt = 0;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);memset(g, 0, sizeof(g));for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = i+1; j <= n; j++){if(build(i, j)){for(int k = 1; k <= n; k++)if(check(i, j, k))g[i][j] |= (1<<(k-1));    }}}for(int i = 1; i <= (1<<n); i++)dp[i] = 28;dp[0] = 0;for(int s = 1; s < (1<<n); s++){int i = down(s);dp[s] = min(dp[s], dp[s-(1<<(i-1))]+1);for(int j = i+1; j<= n; j++){int ss = (s&g[i][j]);dp[s] = min(dp[s], dp[s^ss]+1);}}printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);}return 0;
}

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转载于:https://www.cnblogs.com/EdSheeran/p/9061037.html

Noip2016day2

P2822 组合数问题

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

P2827 蚯蚓

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

P2831 愤怒的小鸟

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

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