Tarjan-有向图

（我到底是咕了多少知识点啊）

在有向图中tarjan主要用来求强连通分量并缩点

一、定义

强连通：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通

强连通分量：如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量

树枝边：原图上的边中，在DFS树上由⽗亲指向⼉子的叫树枝边

前向边：由父亲指向⼉子以下的其他后代的叫前向边

后向边：由后代指向祖先的边叫后向边

横叉边：一个子树中的点指向另一个子树中的点的边叫横叉边

二、tarjan

用来求强联通分量

基于dfs

每个强连通分量为搜索树中的一颗子树

三、算法

首先要引入两个非常重要的数组：dfn[ ] 和 low[ ]

dfn[ ] :就是一个时间戳（被dfs到的次序）。

low [ ] : 该子树中，且仍在栈中的最小时间戳

这个图不一定是一个连通图，所以跑tarjan的时候要枚举每个点

若dfn[ ] == 0，进行深搜

然后对于搜到的点寻找与其有边相连的点，判断这些点是否已经被搜索过，若没有，则进行搜索。若该点已经入栈，说明形成了环，则更新low.

在不断深搜的过程中如果没有路可走了（出边遍历完了），那么就进行回溯，回溯时不断比较low[ ]，去最小的low值。如果dfn[x]==low[x]则x可以看作是某一强连通分量子树的根，也说明找到了一个强连通分量，然后对栈进行弹出操作，直到x被弹出。

洛谷缩点板子题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;inline int read()
{int sum = 0,p = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')p = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){(sum *= 10) += ch - '0';ch = getchar();}return sum * p;
}const int maxn = 1e5+1e4,maxm = 1e5 + 1e4;
int vis[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tim;
int ncnt,bel[maxn],sum[maxn],f[maxn];
int cnt,head[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int sta[maxn],top;
int n,m,val[maxn],x[maxm],y[maxm],ans;void add(int a,int b)
{nxt[++cnt] = head[a];to[cnt] = b;head[a] = cnt;
}void tarjan(int x)
{dfn[x] = low[x] = ++tim;sta[++top] = x;vis[x] = 1;for(int i = head[x];i;i = nxt[i]){int v = to[i];if(!dfn[v]){tarjan(v);low[x] = min(low[x],low[v]);}else if(vis[v])low[x] = min(low[x],dfn[v]);}if(low[x] == dfn[x]){ncnt++;while(sta[top+1] != x){bel[sta[top]] = ncnt;sum[ncnt] += val[sta[top]];vis[sta[top--]] = 0;}}
}void search(int x)
{if(f[x]) return;f[x] = sum[x];int maxsum = 0;for(int i = head[x];i;i = nxt[i]){if(!f[to[i]])search(to[i]);maxsum = max(maxsum,f[to[i]]);}f[x] += maxsum;
}int main()
{n = read();m = read();for(int i = 1;i <= n;i++)val[i] = read();for(int i = 1;i <= m;i++){x[i] = read();y[i] = read();add(x[i],y[i]);}for(int i = 1;i <= n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));memset(to,0,sizeof(to));cnt = 0;for(int i = 1;i <= m;i++){if(bel[x[i]] != bel[y[i]])add(bel[x[i]],bel[y[i]]);}for(int i = 1;i <= ncnt;i++)if(!f[i]){search(i);ans = max(ans,f[i]);}printf("%d",ans);return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/darlingroot/p/11220504.html

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