树与森林的概念与性质

全部数据结构、算法及应用课内模板请点击：https://blog.csdn.net/weixin_44077863/article/details/101691360

一、树与森林的概念及定义

1、树的特点：树中结点(除根结点)均有一个直接前驱和多个直接后继，树是一个树形(非线性)结构。

2、树上结点的度：树上结点的度为其出度，即儿子个数

3、父结点、儿子结点、兄弟结点、祖先结点、子孙结点、叶子结点（又叫终端结点、外部结点，度为0）、

分支结点（又叫非叶子结点、内部节点，度不为0）

4、树的度：结点的度中的最大值

5、高度和深度：科学出版社张宪超的数据结构规定深度从0开始，高度从1开始，这个没啥成文规定，笔试看题里会给具体规定

6、结点的深度（结点的层数）：从上到下依次增加

7、结点的高度：科学出版社张宪超的数据结构没有提出这一概念，因为对这一概念的定义说法有二

①该结点到最低的结点的高度

②该结点作为根结点的子树的高度

8、树的高度：从下到上依次增加

9、有序树：每个结点的所有子树间存在确定的次序关系（即儿子有顺序）

10、无序树：每个结点的所有子树间不存在确定的次序关系（即儿子无顺序）

11、二叉树：树的度为2的有序树（注意有序树，l 和 r 不可颠倒）

12、森林：m>=0棵树构成森林

13、理解与拓展：树本质上是一个有向图，指向关系由选取的根结点决定。平时我们只是把树上指向的箭头省略掉了。

对一个n个结点的无向图，有n种方式构建一棵无序树

二、树的表示方法（了解一下）

1、树形表示法（常用）

2、文氏图表示法

3、凹入表示法

4、嵌套括号表示法

三、树的性质

1、树的结点树 = 所有结点的度之和 + 1（所有的结点度之和等于根结点的子孙数）

2、度为 m 的树，第 i 层上至多有 $m^i$ 个结点（i>=0）

3、高度为 h，度为 m 的树至多有 $(m^h-1)/(m-1)$ 个结点（等比数列求解）

4、n 个结点，度为 m 的树，最小高度为 $\log_{m}(n(m-1)+1)$ 向上取整

四、几种特殊的二叉树

1、完全二叉树：除最后一层外上面的其他层全满，且最后一层的结点位于最左侧连续的位置上

特点：叶子结点一定在最后一层或倒数第二层

2、满二叉树：每一层都是满的，满二叉树是最特殊的完全二叉树

特点：只有度为 0 或度为 2 的结点，没有度为 1 的结点，结点个数 n = 2^h - 1，叶子结点一定在最后一层

3、扩充二叉树：对儿子数不够两个的结点添加空树叶

特点：新增的点必然是叶子结点，老结点必然是分支结点

专属概念：外部路径长度E：根结点到每个空树叶的路径长度之和

内部路径长度 I：根结点到每个内部结点的路径长度之和

五、二叉树的性质（建议全部记住）

设度为 0 的结点数为 n0，1的为 n1，2的为 n2，结点数 n，高度 h（h>=1）

1、n = n0 + n1 + n2

2、n = n1 + 2*n2 + 1

3、n0 = n2 + 1

4、 $2^h^-^1-1<n<=2^h-1$

5、最小高度为 $\log(n+1)$ 向上取整

6、第 i 层 (i>=0)至多有 $2^i$ 个结点

7、完全二叉树高度 h = $\log(n+1)$ 向上取整

8、满二叉树叶子结点数 = 分支结点数 + 1

六、存储方式

1、链式存储 or 顺序存储

2、顺序存储时父子下标的特点

①从 1 开始编号， 2i 为左儿子，2i + 1 为右儿子，i / 2 为父亲

②从 0 开始编号， 2i + 1 为左儿子，2i + 2 为右儿子，( i - 1 ) / 2 为父亲

七、小问题：

1、树上的结点不是叶子结点就是分支结点，对吗？

答：对

2、树上的根结点一定是分支结点，对吗？

答：错。只有根结点时，根结点为叶子结点。

八、推论与证明：

1、高度为 h，度为 m 的树，对结点个数 n 有， $(m^h^-^1-1)/(m-1)< n <=(m^h-1)/(m-1)$

2、对三、4的证明：

利用六、1的结论可得

$\log_{m}(n(m-1)+1)<=h< \log_{m}(n(m-1)+1)+1$ 于是得证