正负相关最大信息系数mic_求二项展开式中二项式系数最大项、系数最大项的问题...

（一）求展开式中二项式系数最大的项

根据二项式系数的性质,

$n$ 为奇数时，中间两项

$\text{T}_{\small \frac{n+1}{2}}$ 与

$\text{T}_{\small \frac{n+3}{2}}$ 的二项式系数

$C_{n}^{\small \frac{n-1}{2}}$ ,

$C_{n}^{\small \frac{n+1}{2}}$ 最大;

$n$ 为偶数时，展开式中间一项

$\text{T}_{\small \frac{n}{2}+1}$ 的二项式系数

$C_{n}^{\small \frac{n}{2}}$ 最大.

（二）求展开式系数的最大项

求展开式系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,还需考虑各项系数的正负变化情况.事实上,由于展开式中各项的系数是离散型变量,因此,我们可以考虑类比求数列最大项的方法,即比较第

$k+1$ 项与相邻两项系数的大小,根据通项构造不等式组求解(为什么?)

现在我们着眼于

$\left( ax^{\alpha}+by^{\beta} \right) ^n$

$\left( a>\text{0,}b>0 \right)$ 的二项展开式,

易知其通项为

$\text{T}_{k+1}=a^{n-k}b^kC_{n}^{k}x^{\left( n-k \right) \alpha}y^{k \beta }$ ,令

$\text{c}_{k+1}=a^{n-k}b^kC_{n}^{k}$ ,设

$\text{c}_{k+1}$ 最大,则

$\begin{cases}\text{c}_{k+1} \geqslant \text{c}_{k}\\ \text{c}_{k+1} \geqslant \text{c}_{k+2}\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a^{n-k}b^kC_{n}^{k}\geqslant a^{n-k-1}b^{k+1}C_{n}^{k+1}\\ a^{n-k}b^kC_{n}^{k}\geqslant a^{n-k+1}b^{k-1}C_{n}^{k-1}\\ \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{a}{n-k}\geqslant \dfrac{b}{k+1}\\ \dfrac{b}{k}\geqslant \dfrac{a}{n-k+1}\\ \end{cases}$

$\Rightarrow\frac{nb-a}{a+b}\leqslant k\leqslant \frac{nb+b}{a+b}$

因为

$\frac{nb+b}{a+b}-\frac{nb-a}{a+b}=1\Rightarrow\frac{nb-a}{a+b}=\frac{nb+b}{a+b}-1,$ 所以不等式组一定有解,并且当

$\frac{nb+b}{a+b}$ 为整数时,

$k$ 有两个解;否则

$k$ 只有一个解,因此得到结论:

形如

$\left( ax^{\alpha}+by^{\beta} \right) ^n$

$\left( a>\text{0,}b>0 \right)$

的二项展开式中系数最大的项最多只有两项,当

$\frac{(n+1)b}{a+b}-1\leqslant k\leqslant \frac{(n+1)b}{a+b}$

且

$k\in \mathbb{N}$

时,

$\text{T}_{k+1}=a^{n-k}b^kC_{n}^{k}x^{\left( n-k \right) \alpha}y^{k \beta }$

为二项展开式中系数最大的项.

但是对于

$\left( ax^{\alpha}-by^{\beta} \right) ^n$

$\left( a>\text{0,}b>0 \right)$ ,上面的方法貌似不成立了......

事实上，对于

$b<0$ 时的问题，简便的方法是:先求系数绝对值最大的项,再根据项的系数的正负确定系数最大的项.于是问题就又转化为求

$\left( ax^{\alpha}+by^{\beta} \right) ^n$

$\left( a>\text{0,}b>0 \right)$ 系数最大的项的情况:

如果

$\frac{nb+b}{a+b}$ 为整数，那么介于

$[\frac{nb+b}{a+b}-1,\frac{nb+b}{a+b}]$ 之间的偶数就是我们要求的

$k$ ;

如果

$\frac{nb+b}{a+b}$ 不为整数，那么介于

$[\frac{nb+b}{a+b}-1,\frac{nb+b}{a+b}]$ 之间的偶数就是我们要求的

$k$ ,

如果介于它们之间的是奇数，那么只需要比较

$k+1$ 项左右两项的系数就可以了.(为什么???)

$a<0$ 时同理.

（三）方法的合理性（高观点下的初等数学）

那么...

”为什么这个方法就能让我们找到系数最大的项了呢?“

”我们这样求得的不应该是局部最大的吗?“

这就需要我们来了解一个特殊函数:

伽马函数(Gamma Fuction):

$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ ,它将阶乘从自然数集

$\mathbb{N}$ 推广至实数集

$\mathbb{R}$ 上.

推荐阅读:

LDA-math-神奇的Gamma函数 | 统计之都cosx.org

介绍了伽马函数以及与其相关的 Digamma 函数(伽玛函数的对数的导数也可看作 Gamma 函数的导数除以 Gamma 函数)

$\psi ^{(n)}(x)=\dfrac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\ln\Gamma(x)$

所以组合数可表示为,

$C_{n}^{m}=\dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+1)\Gamma(n-m+1)}$

我们可以将

$\text{c}_{k+1}$ 看作自变量为

$k$ 的一个函数

$C(k)$ :

$\text{c}_{k+1}=C(k)=\frac{ a^{n-k+1}b^{k+1} \Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}$

求导数,利用 Mathematica (Ver 12.1.0)

(当然不用手算啦!)

$C'(k)=-\frac{ a^{n-k+1}b^{k+1} \Gamma (n+1) (\ln \frac{a}{b}-\psi ^{(0)}(n-k+1)+\psi ^{(0)}(k+1))}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}$

Manipulate[Plot[{(b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]), -((b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1) (Log[a] - Log[b] - PolyGamma[0, -k + n + 1] + PolyGamma[0, k + 1]))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]))}, {k, 0, n}, PlotRange -> All, PlotLegends -> {"C(k)", "C'(k)"}], {n, 1, 10, 1}, {a, 1, 15}, {b, 1,15}]

上述Mathematica代码实现动态可视化:

最近绿了MATLAB去用Mathematica了 www...

图例

$n$ 对图像的影响:

a=1,b=1,n=1

a=1,b=1,n=3

a=1,b=1,n=5

a=1,b=1,n=10

$a$ 对图像的影响:

a=1,b=1,n=5

a=2,b=1,n=5

a=3,b=1,n=5

a=4,b=1,n=5

a=5,b=1,n=5

a=10,b=1,n=5

$b$ 对图像的影响与

$a$ 对图像的影响相似，只不过图像的最高点向右偏移.

函数

$C(k)$

$k\in[0,n]$ 的最高点有且仅有一个,而函数

$C(k)$

$k\in\mathbb{N}$ 的最高点可能有两个.故我们可以通过解不等式的方法来求系数最大的项.

关于这个方法在二项分布中的应用,请移步

Bang：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大zhuanlan.zhihu.com