2019ICPC(银川) - Function!(数论+数学分块)

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题目大意：给出公式 $\sum_{a=2}^{n}(a\sum_{b=a}^{n}\left \lfloor f_{a}^{-1}(b) \right \rfloor\left \lceil f_{b}^{-1}(a)\right \rceil)$ ，其中 $f_{a}(x)=a^x$ ，则 $f_{a}^{-1}(x)=log_{a}x$ ，现在给出n(<=1e12)，求出答案对998244353取模后的答案

题目分析：若用暴力实现上述公式，只需要两层for循环，时间复杂度为n*n，也就是1e24。。所以我们需要想办法优化，其实上面的公式看着吓人，我们稍微化简一下：

$\sum_{a=2}^{n}(a\sum_{b=a}^{n}\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor\left \lceil log_{b}(a)\right \rceil)$

这样看起来就亲切多了，再其实仔细观察一下就会发现，因为第二层循环的b是从a开始的，所以 $\left \lceil log_{b}(a)\right \rceil$ 一定是大于零并且小于等于1，这样向上取整就变为1了，乘上1就可以直接约分了：

$\sum_{a=2}^{n}(a\sum_{b=a}^{n}\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor)$

这样一来这个公式就比较好想了，因为n给的是1e12，这个数字很容易让人联想到sqrt(n)，也就是1e6，所以我们不妨分一下块，对第一层的a简单分为[1,sqrt(n)]+[sqrt(n)+1,n]，因为上面公式的b最大为1e12，所以只要a大于1e6，那么 $log_{a}(b)$ 向下取整答案就是1了，也就是说对于[sqrt(n)+1,n]这一部分，我们可以稍微化简一下：

$\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}(a\sum_{b=a}^{n}\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor)$

$=\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}(a\sum_{b=a}^{n})$

$=\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}(a*(n-a+1))$

$=\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}((n+1)*a-a^2)$

$=(n+1)\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}a-\sum_{a=\sqrt{n}}^{n}a^2$

现在利用等差数列求和公式以及平方和求和公式，就可以O(1)计算出区间[sqrt(n)+1,n]之间的答案了

而对于区间[1,sqrt(n)]中的答案，我们可以直接O(n)跑了，对于其中第二层循环b，虽然看着是要从a跑到1e12，但其实稍微思考一下就能发现，因为是要求 $log_{a}(b)$ 的值作为答案，而这个值向下取整后，在a确定的情况下， $\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor$ 的值在一段连续的区间上肯定是相同的，根据这个性质我们可以将1e12的数据分块，分为一段一段的，每一段上的答案都为一个值，这样分块后我们就能很快的算出答案了，这个分块最大是当a以2为底时， $log_{2}(1e12)$ 也就才40最大了，时间复杂度可以大胆地放缩，因为最大也就才1e6*40，5e7左右，在评测机上的表现还是十分优秀的

话说回来，我们该怎么求这个区间呢，其实稍微将上面的式子转换一下：

$x=log_{a}(b)$ 等价于 $b=a^x$

所以我们可以从1开始枚举x，从而计算出b的区间在 $[a^x,a^{x+1}-1]$ 内的 $\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor$ 都等于x，既然 $\left \lfloor log_{a}(b) \right \rfloor$ 都是一个常数了，那么我们直接根据公式 $a*x*(a^{x+1}-1-a^x+1)$ 就能直接计算贡献了，前面的公式也就是a*x*区间长度

最后需要注意一下关于取模时的一个巨坑，也就是遇到n就要模一下，不然1e12*1e9直接就把longlong爆掉了，还有就是在计算的过程中可能会出现负数，所以最后需要先模再加模最后再取模，基操基操

还有就是在计算等差数列求和公式和平方和求和公式时，会遇到除法，这个时候直接用费马小定理求一下逆元就可以解决了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+100;const int mod=998244353;LL inv2,inv6;//2的逆元和6的逆元LL q_pow(LL a,LL b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}LL get_ans1(LL n)//1~a的等差和
{return (n%mod)*((n+1)%mod)%mod*inv2%mod;
}LL get_ans2(LL n)//1~a*a的平方和
{return (n%mod)*((n+1)%mod)%mod*(2*n%mod+1)%mod*inv6%mod;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);inv2=q_pow(2,mod-2);inv6=q_pow(6,mod-2);LL n;cin>>n;LL t=sqrt(n);LL ans=(((n+1)%mod)*(get_ans1(n)-get_ans1(t))%mod-get_ans2(n)+get_ans2(t))%mod;for(LL a=2;a<=t;a++){LL x=1;//记录loga(b)的值，即b=a^xLL b=a;LL sum=0;while(b<=n){sum=(sum+(min(b*a-1,n)-b+1)%mod*x%mod)%mod;b*=a;x++;}ans=(ans+sum*a%mod)%mod;}cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;return 0;
}

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