第十讲二阶齐次常系数线性ODE（续）

一，特征方程的解r是一对共轭复数： $r=a\pm bi$

$y=e^{(a\pm bi)t}\Rightarrow y_{1}=e^{(a+bi)t},y_{2}=e^{(a-bi)t}$
通解： $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{(a+bi)t}+c_{2}e^{(a-bi)t}$
因为 $y$ 是实数解， $e^{(a\pm bi)t}$ 是复数，要使方程两边相等，必须满足以下条件：
$c_{1}=\overline{c_{2}}=c+id$ ， $c_{2}=\overline{c_{1}}=c-id$

证明：如果 $y=u+iv=u-iv$ ，那么 $y$ 为实数
同理：如果 $y=c_{1}e^{(a+bi)t}+c_{2}e^{(a-bi)t}=\overline{c_{1}}e^{(a-bi)t}+\overline{c_{2}}e^{(a+bi)t}$ ，那么 $y$ 为实数

将 $c_{1},c_{2}$ 代入通解： ${\color{Red} y=(c+id)e^{(a+bi)t}+(c-id)e^{(a-bi)t}}$ （工程上的用法）
变回最初的形式：

$y=(c+id)e^{(a+bi)t}+(c-id)e^{(a-bi)t}=e^{at}((c+id)e^{ibt}+(c-id)e^{-ibt})$
$=e^{at}(c(e^{ibt}+e^{-ibt})+id(e^{ibt}-e^{-ibt}))$
$=e^{at}(2c\cdot cos(bt)-2d\cdot sin(bt))$ （利用逆向欧拉公式）
$=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))$
$c_{1}=2c$ ， $c_{2}=-2d$

二，逆向欧拉公式：

$cosa=\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}$

$sina=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}$

三，应用：弹簧—质量—阻尼系统

如图
o点为平衡位置
标准形式： ${x}''+\frac{c}{m}{x}'+\frac{k}{m}x=0$
设阻尼常数 $\frac{c}{m}=2p$ ，弹性常数 $\frac{k}{m}=\omega _{0}^{2}$ ， $\omega _{0}$ 表示弹簧振荡的角速度， $\omega _{0}>0$
原方程化为： ${x}''+2p{x}'+\omega _{0}^{2}x=0$
特征方程： $r^{2}+2pr+\omega _{0}^{2}=0$
特征解： $r=-p\pm \sqrt{p^{2}-\omega _{0}^{2}}$
当 $2p=0$ 时，阻尼系数 $c=0$ ，没有阻尼：
原方程变为简谐振动方程： ${x}''+\omega _{0}^{2}x=0$
$r=-p\pm \sqrt{p^{2}-\omega _{0}^{2}}=\pm i\omega _{0}$
通解： $x=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))=c_{1}cos(\omega _{0}t)+c_{2}sin(\omega _{0}t)$
利用辅助角公式： $x=c_{1}cos(\omega _{0}t)+c_{2}sin(\omega _{0}t)=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\cdot cos(\omega _{0}t-\phi )$
当 $p<\omega _{0}$ 时， $r=-p\pm \sqrt{p^{2}-\omega _{0}^{2}}$ 必为复数，模型必产生振荡：
解图像：
伪周期 $T=\frac{t}{w}=\frac{t}{\frac{\theta }{2\pi }}=\frac{t}{\theta }\cdot 2\pi =\frac{2\pi }{\frac{\theta }{t}}=\frac{2\pi }{\omega _{1}}$ ， $w$ 表示周， $\omega _{1}$ 表示伪角速度，因为振幅始终处于递减状态
$t_{2}=t_{1}+T=t_{1}+\frac{2\pi }{\omega _{1}}$
如果阻尼系数c变大，伪角速度 $\omega _{1}$ 会如何变化？

特征解： $r=-p\pm \sqrt{-(\omega _{0}^{2}-p^{2})}=-p\pm \sqrt{-\omega _{1}^{2}}$
通解： $x=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))=e^{-pt}(c_{1}cos(\omega _{1}t)+c_{2}sin(\omega _{1}t))$
利用辅助角公式： $x=e^{-pt}(c_{1}cos(\omega _{1}t)+c_{2}sin(\omega _{1}t))=e^{-pt}\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\cdot cos(\omega _{1}t-\phi )$
$p=\frac{c}{2m}$ ，p取决于阻尼系数c和质量m
定理： $\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-p^{2}$ （勾股定理）， $\omega _{1}$ 取决于阻尼系数c、弹性系数k和质量m
如果阻尼系数c变大，p变大，伪角速度 $\omega _{1}$ 变小
振幅 $\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$ 和相位滞后 $\phi$ 取决于初始条件

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