初等数论--原根--怎么判断a是不是模m的原根

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

根据定义

mmm为正整数，(a,m)=1,(a,m)=1,(a,m)=1,满足ad≡1(modm)a^d\equiv 1(mod m)ad≡1(modm)的最小正整数ddd，如果d=φ(m),d=\varphi(m),d=φ(m),那么aaa是模mmm的原根。

这种方法需要使ddd遍历{1,2,3……φ(m)−1,φ(m)}\{1,2,3……\varphi(m)-1,\varphi(m)\}{1,2,3……φ(m)−1,φ(m)},如果ddd直到试到φ(m)\varphi(m)φ(m)才有ad≡1(modm),a^d\equiv 1(mod m),ad≡1(modm),那么aaa是模mmm的原根。

根据ordm(a)∣φ(m)ord_m(a)\mid \varphi(m)ordm(a)∣φ(m)

由欧拉定理证明过的“如果(a,n)=1,(a,n)=1,(a,n)=1,则aφ(n)≡1(modn)”，a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod n)”，aφ(n)≡1(modn)”，我们知道一定有aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod m)aφ(m)≡1(modm)；所以对于aordm(a)≡1(modm),a^{ord_m(a)}\equiv 1(mod m),aordm(a)≡1(modm),且ordm(a)ord_m(a)ordm(a)“最小”，所以ordm(a)∣φ(m)ord_m(a)\mid \varphi(m)ordm(a)∣φ(m)。

这样我们就不需要遍历{1,2,3……φ(m)−1,φ(m)}\{1,2,3……\varphi(m)-1,\varphi(m)\}{1,2,3……φ(m)−1,φ(m)}了，只用遍历φ(m)\varphi(m)φ(m)的正因子即可。

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