函数的傅立叶展开掐死我吧_《傅立叶的梦》第一章——天才少年Fejér的平均和一致收敛问题...

（声明：该文章介绍了证明傅立叶级数一致收敛问题前的重要一步，该论述由天才少年Fejér提出。《傅立叶的梦》也是指本系列文章的最终定理：傅立叶级数的一致收敛）

一天，19岁的Fejér（费耶尔，j几乎不发音）突然灵机一动，拿笔写下了如下定理：

定理1

是定义在

上的连续函数。并且是满足

的周期为

的周期函数。设

为由

构造出的傅立叶级数部分和函数列，具体地：

并且按照如下定义

(后来叫做切萨罗求和)：

当

的时候，

在

上向

一致收敛。

之后简称“连续周期函数的平均和一致收敛”

写到这里，Fejér看了看窗外，想了想，又继续写道：

定理1的证明：

因为

把

代入

并使用三角函数加法定理可得

定义

（叫做：Fejér核）为下式：

则有

这里注意，使用欧拉公式，和倍角公式，Fejér核的求和可变形为（推荐读者挑战一下）：

因为

是周期函数，可有如下字母置换

则

根据前面的Fejér核求和变形，有：

注意，如果

，那么它的傅立叶级数的系数就只有

一项存在，其余为

，故其对应的切萨罗求和为

则

根据常用手法恒等变换：

结合上面的

，我们有

这里我们开始做分析：

因为

在区间

上连续可得

为一致连续函数，即

现在按顺序依次固定

，这时上式子右面积分可以分割为三部分：

现在处理中间

另一方面，

在闭区间连续

一致有界。即

所以第三项：

同理第一项也可以整理成这个形式。综上：

当

足够大时，可以有

根据

的任意性。

后记：

写到这里，Fejér放下笔。揉了揉双眼，便即跟同班好友杰克一起出去玩了。

（续）

中梓星音：《傅立叶的梦》第二章——傅立叶级数与完美主义者：Bessel不等式zhuanlan.zhihu.com

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定理1

定理1的证明：

后记：

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