COGS-363-土地购买-斜率优化

描述

有 n(≤50000) 块 (Xi*Yi) 的土地. 一些土地的购买价格是这些土地中长的最大值乘宽的最大值 (长宽不可颠倒). 求购买所有土地的最小花费.
将 n 个二元组 (x, y) 分组使每个组中的 max{x}*max{y} 的和最小.

分析

这里土地的顺序是无所谓的, 所以凭直觉先按 x 升序排序.
然后去除无用的土地, 即如果一块土地可以完全包含在另一块土地里, 这一块土地就不需要再考虑了(因为它可以和后者分在一组). 这一步可以用一个单调栈来实现.
这时 x 递增, y 递减.
得到转移方程 : 由 j->i(j < i), f[i]=f[j−1]+Xi∗Yjf[i] = f[j-1]+X_i*Y_j
意义就在于 j 和 i 之间的土地的长不大于 XiX_i 而宽不大于 YjY_j.
O(n2)O(n^2)

斜率优化 :
如果 j < k, j 不比 k 差, 则 f[j−1]+Xi∗Yj≤f[k−1]+Xi∗Ykf[j-1]+X_i*Y_j≤f[k-1]+X_i*Y_k
化简得到 Xi≤f[k−1]−f[j−1]Yj−YkX_i≤\frac{f[k-1]-f[j-1]}{Y_j-Y_k}
设上式 f[k−1]−f[j−1]Yj−Yk=g(j,k)\frac{f[k-1]-f[j-1]}{Y_j-Y_k}=g(j,k)
则如果 g(a,b)>g(b,c)g(a,b)>g(b,c) 则 b 可以完全被舍弃. 证明如下
- 如果 g(a,b)≥Xig(a,b)≥X_i, 那么 a 优于 b.
- 如果 g(a,b)<Xig(a,b), 那么 g(b,c)<Xig(b,c) c 优于 b.
所以可以用一个单调队列来存储当前在考虑范围内的土地. 用队尾的两个结点和 i 的 XX 和 YY 的值来维护单调队列. 其实是判定队尾结点可不可以删除.
而在更新 f[i]f[i] 的答案时, 则从队头选取. 如果 g(q[first],q[first+1])≥Xig(q[first], q[first+1]) ≥ X_i 说明队首元素是队列中的最优解(向后推就可以证明了). 否则 firstfirst 就应该从队列中删除, 因为此时 q[first+1]q[first+1] 比 q[first]q[first] 优, 在 i 变大时 XiX_i 也变大, 那么 g(q[first],q[first+1])<Xig(q[first], q[first+1]) 是一定成立的.
O(n∗logn)O(n*logn)

代码

https://code.csdn.net/snippets/647122

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;const int maxn = 50000 + 10;inline int getint() {int x = 0, f = 1;char ch = getchar();for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x*10 + ch-'0';return x * f;
}struct Node {int x, y;bool operator < (const Node& rhs) const {if(x == rhs.x) return y < rhs.y;return x < rhs.x;}
} A[maxn];int q[maxn];
long long f[maxn];double g(int a, int b) {return (double)(f[b-1]-f[a-1]) / (A[a].y-A[b].y);
}int main() {freopen("acquire.in", "r", stdin);freopen("acquire.out", "w", stdout);int n = getint(), m;for(int i = 0; i < n; i++) {A[i].x = getint();A[i].y = getint();}sort(A, A + n);m = 0;for(int i = 0; i < n; i++) {while(m > 0 && A[m-1].y <= A[i].y) m--;A[m++] = A[i];}int first, last;first = last = 0;for(int i = 0; i < m; i++) {while(last-first > 1 && g(q[last-2], q[last-1]) > g(q[last-1], i)) last--;q[last++] = i;while(last-first > 1 && g(q[first], q[first+1]) < (double)A[i].x) first++;int j = q[first];f[i] = (long long)A[i].x * A[j].y + (j > 0 ? f[j-1] : 0);}printf("%lld\n", f[m-1]);return 0;
}

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