【opencv】20.直方图均衡化的数学原理

本文只讲数字图像处理，即离散化后的公式，至于积分形式的分析，网上很多。
具体的数学推导可以参考这篇博客直方图均衡化。
如果想自己代码实现直方图均衡化，相关源代码可以参考(不使用api)使用C++实现彩色图像直方图均衡化的三种方法。
如果要直接使用opencv的api，直接一个函数搞定，用法如下：

void equalizeHist(InputArray src,OutputArray dst)

在实际均衡化过程中，核心步骤如下：
说明：xix_ixi是灰度值，取值[0~255]，iii也取值为[0~255]，xxx是一个像素(原始的)，f(x)f(x)f(x)是直方图均衡化之后的值。

1.计算灰度图的直方图；
2.遍历灰度直方图，对灰度值从 0~255 累计求和(图像计算中，积分可以用求和来近似替代)，对求和结果除以图像的像素总数，然后乘以 L−1\color{red}L-1L−1得到函数结果得到函数结果 f(xi)f(x_i)f(xi)。
f(xi)=(L−1)∑0xih(xi)w∗h\color{red}f(x_i)=(L-1)\sum_{0}^{x_i} {\frac{h(x_i)}{w*h}}f(xi)=(L−1)0∑xiw∗hh(xi)
如果写成迭代的式子，就是下面这样：
f(xi)=f(xi−1)+(L−1)h(xi)w∗h=(L−1)∑0xi−1h(xi−1)w∗h+(L−1)h(xi)w∗h\color{red} \begin{aligned} f(x_i) &= f(x_{i-1})+(L-1)\frac{h(x_{i})}{w*h} \\ &=(L-1)\sum_{0}^{x_{i-1}} {\frac{h(x_{i-1})}{w*h}}+(L-1)\frac{h(x_{i})}{w*h} \\ \end{aligned} f(xi)=f(xi−1)+(L−1)w∗hh(xi)=(L−1)0∑xi−1w∗hh(xi−1)+(L−1)w∗hh(xi)
不过这种方式会产生小数，然后又取整，每次像素值都取整，有精度损失，虽然影响不大，但是更好的方式是对该像素和该像素之前的像素数量求和，count+=h(xi)count+=h(x_i)count+=h(xi),
f(xi)=(L−1)countw∗h\color{red}f(x_i)=(L-1)\frac{count}{w*h}f(xi)=(L−1)w∗hcount
这个公式就是，当xi=80x_i=80xi=80 时，灰度值为80的像素在直方图均衡化之后的灰度值为f(xi)\color{red}f(x_i)f(xi)。
3.将每一个灰度值累积求和的结果f(xi)f(x_i)f(xi)存储在一个大小为 256 的int数组中，存储的位置为 iii;
4.遍历输入图像每一个像素，记点值为xxx，修改其像素值使等于f(x)f(x)f(x)。
5.均衡化结束。

`例子：`

假设一幅图中的像素范围是 [10~160],有100个像素取值(因为有些像素值可能并没有，例如，一张图中像素值为75的像素一个都没有)，直方图均衡化的做法就是：
其实累计求和就是下面这样,假设灰度图片总共有total=2550个像素：

origin_pixel_value	0	1	10	11	12	13	…	160	…	255
num	0	0	250	500	10	800	…	100	0	0
calculate： vnext=vpre+255∗numtotalv_{next}=v_{pre}+255* \frac{num}{total}vnext=vpre+255∗totalnum 例：v10=v9+255∗2502550v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{2550}v10=v9+255∗2550250, v255=v254+255∗02550v_{255}=v_{254}+255* \frac{0}{2550}v255=v254+255∗25500	v0=0v_0=0v0=0	v1=v0+0v_1=v_0+0v1=v0+0	v10=v9+255∗2502550v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{2550}v10=v9+255∗2550250	v11	v12	v13		v160		v255
final_pixel_value	0	0	25	75	76	156		255	255	255

origin_pixel_value

…

160

…

255

num

250

500

800

…

100

calculate：
vnext=vpre+255∗numtotalv_{next}=v_{pre}+255* \frac{num}{total}vnext=vpre+255∗totalnum

例：v10=v9+255∗2502550v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{2550}v10=v9+255∗2550250,

v255=v254+255∗02550v_{255}=v_{254}+255* \frac{0}{2550}v255=v254+255∗25500

v0=0v_0=0v0=0

v1=v0+0v_1=v_0+0v1=v0+0

v10=v9+255∗2502550v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{2550}v10=v9+255∗2550250

v11

v12

v13

v160

v255

final_pixel_value

156

255

由上表可知，本来像素范围在[10~160]，直方图均衡化之后，像素范围变为了[25~255]，动态范围大大增加;

原来的低亮度像素值为10的变为了25，11的变为了75，12的变为了76, 13变为了156，160变成了255。可以看出该像素对应的灰度值在整幅图中的个数越多，变换后的灰度值就越大。
本来像素12和像素13只相差1,直方图均衡化之后，变为了76和156，对比度显著变大，之所以会这样，就是因为像素13比像素12的灰度值个数多，并且多的不是一个量级。
但是由于直方图均衡化是递增的，对于原来像素11和像素12只相差1,直方图均衡化之后，变为了75和76，所以即使二者像素个数相差几百个，对比度也没有增大。
因此灰度值更高时，而像素数量骤减的话，并不会拉升对比度。只对灰度值更高，像素数量陡增时，才会拉升对比度。

假设该图像有total=25500个像素，即像素个数扩大了10倍，本例把像素值为160的像素增大到了3000个：

origin_pixel_value	0	1	10	11	12	13	…	160	…	255
num	0	0	250	500	10	800	…	3000	0	0
calculate： vnext=vpre+255∗numtotalv_{next}=v_{pre}+255* \frac{num}{total}vnext=vpre+255∗totalnum 例：v10=v9+255∗25025500v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{25500}v10=v9+255∗25500250, v255=v254+255∗025500v_{255}=v_{254}+255* \frac{0}{25500}v255=v254+255∗255000	v0=0v_0=0v0=0	v1=v0+0v_1=v_0+0v1=v0+0	v10=v9+255∗25025500v_{10}=v_{9}+255* \frac{250}{25500}v10=v9+255∗25500250	v11	v12	v13		v160		v255
calculate_pixel_value	0	0	2.5	7.5	7.6	15.6		255	255	255
final_pixel_value	0	0	3	8	8	16		255	255	255

由上表可知，本来像素范围在 [10~160]，直方图均衡化之后，像素范围变为了 [3~255]，动态范围大大增加;

原来的低亮度像素值为10的变为了3，11的变为了85，12的变为了8, 13变为了16,160变成了255。可以看出该像素对应的灰度值在整幅图中的个数越多，变换后的灰度值就越大。

图像中像素灰度值数量最多的变亮了，那么整幅图看起来就更亮，对比度更高，更清晰了。

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