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文章目录

14. 剪绳子1、 题目链接2、题目描述3、解题思路3.1贪心3.2动态规划

14. 剪绳子

1、 题目链接

Leetcode

https://leetcode.com/problems/integer-break/description/

2、题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

n = 2

return 1 (2 = 1 + 1)

n = 10

return 36 (10 = 3 + 3 + 4)

3、解题思路

3.1贪心

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

分析：抽象一下题目就是把n分成很多个数字，要求这些数字的乘积最大，问你最大的乘积是多少？

先找一下规律

* 先举几个例子，可以看出规律来。

* 4 ：2 * 2

* 5 ：2 * 3

* 6 ：3 * 3

* 7 ：2 * 2 * 3

* 8 ：2 * 3 * 3

* 9 ：3 * 3 * 3

* 10：2 * 2 * 3 * 3

* 11：2 * 3 * 3 * 3

* 12：3 * 3 * 3 * 3

* 13：2 * 2 * 3 * 3 * 3

我们发现分解的数字中只有2和3，这样的话乘积才能最大，相对于2，肯定是取3更加的好，所以是能取3的时候一定取3，

当n%3 == 0时，也就是全都是3的时候，这个时候乘积肯定最大

当n%3 == 1时，注意1 * 3……* 3肯定没有2 * 2 * 3 …… * 3大，所以我们应该把一个3拿出来和剩下的那个1组成22的形式

当n%3==2时，2 * 3 * …… * 3的形式乘积最大

时间复杂度：O(1)

package 剪绳子;

/*

作者 :XiangLin

文件 :cutRope.java

IDE :IntelliJ IDEA

*/

public class cutRope {

public int integerBreak(int n){

if(n<2)

return 0;

if (n == 2)

return 1;

if (n == 3)

return 2;

int timesOf3 = n / 3;

if (n - timesOf3 * 3 == 1)

timesOf3 --;

int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3)/2;

return (int) (Math.pow(3,timesOf3)) * (int)(Math.pow(2,timesOf2));

}

public static void main(String[] args) {

cutRope c = new cutRope();

int n = 9;

System.out.println(c.integerBreak(n));

}

}

3.2动态规划

时间复杂度O(n^2);空间复杂度：O(n)。

定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时，有n-1种选择，即剪出的第一段绳子长度可能为1,2,3,…,n-1。因此 f ( n ) = max( f ( i ) * f ( n - i ) )，其中0

例如：绳子最初的长度为10，我们可以把绳子剪成长度分别为4和6的两段，也就是f(4)和f(6)都是f(10)的子问题。接下来分别求解这两个子问题。我们可以把长度为4的绳子剪成均为2的2段，即f(2)是f(4)的子问题。同样，我们也可以把长度为6的绳子剪成长度分别为2和4的两段，即f(2)和f(4)都是f(6)的子问题。我们注意到f(2)是f(4)和f(6)的公共的更小的子问题。

package 剪绳子;

/*

作者 :XiangLin

文件 :cutRope1.java

IDE :IntelliJ IDEA

*/

// 动态规划

public class cutRope1 {

public int maxProductAfterCuttingSolution1(int n){

if (n < 2)

return 0;

if (n == 2)

return 1;

if (n == 3)

return 2;

int[] products = new int[n + 1];

// 这里设置的0,1,2,3位置上的数是为了便于计算。

// 当i大于等于4时，数组中第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值

products[0] = 0;

products[1] = 1;

products[2] = 2;

products[3] = 3;

int max;

for (int i = 4; i <= n; i++){

max = 0;

for (int j = 1; j <= i/2; j++){

int product = products[j] * products[i - j];

if (max < product){

max = product;

products[i] = max;

}

}

}

return products[n];

}

public static void main(String[] args) {

cutRope1 c = new cutRope1();

int n =9;

System.out.println(c.maxProductAfterCuttingSolution1(n));

}

}