小波分析有两种类型:连续小波和多分辨率小波。哪种小波分析最适合您的工作取决于您想对数据做什么。本主题主要关注一维数据，但是您可以将相同的原则应用于二维数据。

1. 时频分析：

如果你的目标是执行一个详细的时频分析，选择连续小波变换(CWT)。在实现方面，CWT比离散小波变换(DWT)更精细地离散尺度。有关更多信息，请参阅连续和离散小波变换。

1.1 瞬时频率

对于瞬时频率增长较快的信号，连续小波变换优于短时傅里叶变换(STFT)。在下图中，双曲调频的瞬时频率在谱图和cwt衍生的尺度图中被绘制为虚线。

1.2 局部突变

连续小波变换能很好地定位非平稳信号中的瞬态。在下面的图中，观察小波系数与信号中发生的突变是如何对齐的。

1.3 支持的小波

要获得数据的连续小波变换，使用cwt和cwtfilterbank。这两个函数都支持下表中列出的解析小波。缺省情况下，cwt和cwtfilterbank使用广义莫尔斯小波族。这个族由两个参数定义。您可以改变参数来重新创建许多常用的小波。在时域图中，红线和蓝线分别是小波的实部和虚部。轮廓图显示了小波在时间和频率上的扩展。

表中所有的小波都是解析的。解析小波是具有单侧谱和时域复值的小波。这些小波是用连续小波变换进行时频分析的好选择。由于小波系数是复数，连续小波变换提供了相位信息。cwt和cwtfilterbank支持解析和反解析小波。

2. 多尺度分析

在多分辨率分析(MRA)中，你在渐进较粗的尺度上近似一个信号，同时记录在连续尺度上近似之间的差异。你通过对信号进行离散小波变换(DWT)来创建近似和差值。DWT为许多自然信号提供了稀疏表示。近似是通过将信号与缩放函数的缩放和平移副本进行比较而形成的。连续尺度之间的差异，也称为细节，是通过小波的缩放和翻译副本来捕获的。在log2刻度上，连续刻度之间的差总是1。在CWT的情况下，连续尺度之间的差异更小。

当生成MRA时，您可以在每次增加或不增加规模时将近似值抽取2倍。每种选择都有其优点和缺点。如果进行子采样，最终得到的小波系数与原始信号相同。在抽取DWT中，平移是尺度的整数倍。对于非抽取DWT，转换是整数移位。非抽取DWT提供原始数据的冗余表示，但不像CWT那样冗余。应用程序不仅会影响小波的选择，还会影响小波的选择

2.1 能量保存

在分析阶段保持能量是很重要的，必须使用正交小波。正交变换保持能量。考虑使用紧支正交小波。请记住，除了Haar小波，其余具有紧支集的正交小波都是不对称的。相关滤波器具有非线性相位。此表列出了支持的正交小波

2.2 特征检测

如果希望找到间隔较近的特性，请选择支持较小的小波，如haar、db2或sym2。小波的支持应该足够小，以分离感兴趣的特征。具有较大支持度的小波往往难以检测出紧密间隔的特征。使用大支持度小波会导致系数不能区分个别特征。在下面的图中，上面的图显示了一个带有尖峰的信号。下面的图显示了使用haar(粗蓝线)和db6(粗红线)小波的modwt的一级MRA细节。

如果你的数据有稀疏间隔的瞬态，你可以使用小波来获得更好结果。

2.3 方差分析

如果你的目标是进行方差分析，最大重叠离散小波变换(MODWT)适合这项任务。MODWT是标准DWT的变体。有以下优势：
MODWT在分析阶段守恒能量。
MODWT对不同尺度的分区是不同的。如金融数据的小波分析和小波变点检测。
MODWT需要一个正交小波，如Daubechies小波或Symlet。
MODWT是一个平移不变性。对输入数据进行移位，小波系数也会发生相同的移位。但是DWT不是移位不变的。改变输入会改变系数，并能在不同尺度上重新分配能量。

2.4 冗余

使用正交小波族的信号的抽取DWT，波解码器提供了信号的最小冗余表示。小波在尺度内和尺度之间没有重叠。系数的个数等于信号样本的个数。当您想要删除不被感知到的特性时，最小冗余表示是一个很好的压缩选择。
信号的连续小波变换提供了一个高度冗余的信号表示。在尺度内和尺度之间的小波有明显的重叠。此外，考虑到尺度的精细离散化，计算连续小波变换和存储小波系数的代价明显大于小波变换。
MODWT也是一种冗余变换，但冗余系数通常比CWT小得多。冗余倾向于强化信号特征和您想要检查的特征，例如频率中断或其他短暂事件。

2.5 去噪

正交小波，如Symlet或Daubechies小波，是一个很好的选择去噪信号。双正交小波也可以用于图像处理。双正交小波滤波器的线性相位对图像处理至关重要。采用双正交小波不会在图像中引入视觉失真。

正交变换不着色白噪声。如果将白噪声作为正交变换的输入，则输出为白噪声。用双正交小波颜色白噪声进行DWT。正交变换保证能量不丢失。

2.6 压缩

如果你的工作涉及到信号或图像压缩，考虑使用双正交小波。该表列出了紧支集双正交小波。

有两个尺度函数小波对，一个用于分析，另一个用于合成，是有用的压缩。
双正交小波滤波器是对称的，具有线性相位。
用于分析的小波可以有许多消失矩。具有N个消失矩的小波正交于N-1次多项式。使用多消失矩的小波可以减少有效小波系数。压缩是改善。
用于综合的对偶小波具有较好的规律性。重建的信号更平滑。使用比合成滤波器消失矩更少的分析滤波器会对压缩产生不利影响。
例如，参见双正交小波的图像重建。当采用双正交小波时，在分析阶段能量不守恒。

3. 总结

3.1 正交性

如果一个小波是正交的，小波变换保持能量。除Haar小波外，具有紧支集的正交小波均不对称。相关滤波器具有非线性相位。

3.2 消失矩

具有N个消失矩的小波正交于N−1次多项式。消失矩的数目与小波的振荡具有松散的关系。随着消失矩数的增加，小波振荡越大。
消失矩的数量也影响小波的支持度。Daubechies证明了具有N个消失矩的小波必须具有长度至少为2N-1的支持度。
许多小波的名称来自消失矩的数量。例如，db6是具有六个消失矩的Daubechies小波，sym3是具有三个消失矩的Symlet。对于小波，coif3是具有六个消失矩的小波。对于Fejér-Korovkin小波，fk8是Fejér-Korovkin小波，滤波器长度为8。根据分析小波和综合小波各自具有的消失矩的个数，推导出双正交小波的名称。例如，bior3.5是综合小波中带有三个消失矩和五个v的双正交小波
如果消失矩N等于1、2或3，那么dbN和symN是相同的。

3.3 正则性

正则性与一个函数有多少个连续导数有关。直观地说，规律性可以被认为是平滑度的度量。为了检测数据中的突变，小波必须具有足够的规则。对于有N个连续导数的小波，小波必须至少有N+1个消失矩。
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3.4 各小波对比

Haar小波：Haar 小波是小波分析中最简单的小波函数，它是一个正交归一化小波函数，用它做小波变换的话计算简单，但该小波在时域上是间断的，所以该小波用于近似连续信号处理时性能不是特别好。
dbN小波：随着小波阶数的增加，消失矩阶数增大，光滑性就越好，但是除 N=1 外，dbN 不具有对称性（即非线性相位），导致信号在分解和重构时产生相位失真。
Morlet小波：该小波是高斯包络下的单频率正弦函数，且具有对称性，但是它没有尺度函数。
Meyer小波：收敛快。
symN：相比于dbN，具有近似对称性。
coifN：比dbN有更好的对称性，但支撑长度大幅度增加。
biorNr.Nd：具有线性相位特性，所以他主要用于信号的重构中，引入双正交小波，采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。但这两个小波函数在伸缩和平移后得到的小波函数系之间没有正交性，应用时要合理选择滤波器的长度。

根据对选取原则的分析可以看出，选取正则性的小波可使变换后的信号越稳定、越平滑；选取消失矩高的小波基变换后信号的能量越集中；选择支集长度较短的小波有利于提取脉搏波信号中的突变点；选择对称性小波可使脉搏波信号不失真；选取正交小波能够减少数据运算量，能够满足信号的精确重构。
没有小波基能够完全满足以上条件，因此在实际应用中，要综合考虑上述五个方面来选择合适的小波基。
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