Beta分布及其应用
贝塔分布(Beta Distribution)是一个连续的概率分布,它只有两个参数。它最重要的应用是为某项实验的成功概率建模。在本篇博客中,我们使用Beta分布作为描述。
原文地址:http://www.datalearner.com/blog/1051505532393058
一、Beta分布的定义及其简介
Beta分布是一个定义在[0,1]区间上的连续概率分布族,它有两个正值参数,称为形状参数,一般用 α \alpha和 β \beta表示。在贝叶斯推断中,Beta分布是Bernoulli、二项分布、负二项分布和几何分布的共轭先验分布。Beta分布的概率密度函数形式如下:
这里的 Γ \Gamma表示gamma函数。
Beta分布的均值是:
\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
方差是:
\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
下面我们看一下Beta分布的图形:
beta分布的R语言实例
首先,我们可以画一个beta分布的概率密度函数。
set.seed(1)
x<-seq(0,1,length.out=10000)
plot(0,0,main='probability density function',xlim=c(0,1),ylim=c(0,2.5),ylab='PDF')
lines(x,dbeta(x,0.5,0.5),col='red')
lines(x,dbeta(x,1,2),col='green')
lines(x,dbeta(x,2,2),col='pink')
lines(x,dbeta(x,2,5),col='orange')
lines(x,dbeta(x,1,3),col='blue')
lines(x,dbeta(x,5,1),col='black')
legend('top',legend=c('α=0.5,β=0.5','α=1,β=2','α=2,β=2','α=2,β=5','α=1,β=3','α=5,β=1'),col=c('red','green','pink','orange','blue','black'),lwd=1)
我们再来画一个beta分布的累计概率密度函数
set.seed(1)
x<-seq(0,1,length.out=10000)
plot(0,0,main='cumulative distribution function',xlim=c(0,1),ylim=c(0,1),ylab='PDF')
lines(x,pbeta(x,0.5,0.5),col='red')
lines(x,pbeta(x,1,2),col='green')
lines(x,pbeta(x,2,2),col='pink')
lines(x,pbeta(x,2,5),col='orange')
lines(x,pbeta(x,1,3),col='blue')
lines(x,pbeta(x,5,1),col='black')
legend('topleft',legend=c('α=0.5,β=0.5','α=1,β=2','α=2,β=2','α=2,β=5','α=1,β=3','α=5,β=1'),col=c('red','green','pink','orange','blue','black'),lwd=1)
从Beta分布的概率密度函数的图形我们可以看出,Beta分布有很多种形状,但都是在0-1区间内,因此Beta分布可以描述各种0-1区间内的形状(事件)。因此,它特别适合为某件事发生或者成功的概率建模。同时,当 α=1 \alpha=1, β=1 \beta=1的时候,它就是一个均匀分布。
下面我们使用三个例子来描述Beta分布的应用。
二、为实验成功概率建模(为棒球运动员的击球率建模)
Statlect网站上给出了一个简单的解释。假设一个概率实验只有两种结果,一个是成功,概率是 X X,另一个是失败,概率为(1−X)(1-X)。其中, X X的值我们是不知道的,但是它所有可能的情况也是等概率的。如果我们对XX的不确定性用一种方式描述,那么,可以认为 X X是一个来自于[0,1][0,1]区间的均匀分布的样本。这是很合理的,因为 X X只可能是[0,1][0,1]之间的某个值。同时,我们对 X X也一无所知,认为它是[0,1][0,1]之间任何一个可能的值。这些都与 [0,1] [0,1]均匀分布的性质契合。现在,假设我们做了 n n次独立重复的实验,我们观察到kk次成功, n−k n-k次失败。这时候我们就可以使用这些实验结果来修订之前的假设了。换句话说,我们就要计算 X X的条件概率,其条件是我们观察到的成功次数和失败次数。这里计算的结果就是Beta分布了。在这里,在总共nn次实验, k k次成功的条件下,XX的条件概率是一个Beta分布,其参数是 k+1 k+1和 n−k+1 n-k+1。
在Cross Validated的问题:What is the intuition behind beta distribution?中,David Robinson给出了另外一个关于击中棒球的例子。在棒球运动中,有个叫平均击球率的概念。就是用一个运动员击中棒球的次数除以他总的击球数量。一般情况下,棒球运动员的击球概率在 0.266 0.266左右。高于这个值就是不错的运动员了。假设我们要预测一个运动员在某个赛季的击球率,我们可以使用已有的数据计算。但是在赛季刚开始的时候,他击球次数少,因此无法准确预测。比如他只打了一次球,那击球率就是1或者0,这个显然是不对的,我们也不会这么预测。因为我们都有一个先验期望。即根据历史情况,我们认为一个运动员大概的击球率应当是在0.215到0.360之间。因此,当一个运动员在赛季开始就被三振出局,那么我们可以预期这个运动员的击球率可能会略低于平均值,但他不可能是0。那么,在这个运动员的例子中,关于在赛季开始的击球情况,可以使用二项式分布表示,也就是一系列击球成功和失败的实验(假设之间相互独立)。同时,我们也会给这个数据一个先验期望(即统计中的先验知识),这个先验的分布一般就是Beta分布。这里的Beta分布就是用来修正我们观测到的运动员的击球率的(简单来说就是即便开始这个运动员被三振出局了,我们也只会预测他的击球率可能低于平均水平,但不会是0)。
图1 Beta分布作为先验
如上图1所示,我们使用Beta分布作为先验来解决这个问题。这个图是这个问题的概率图模型,假设该用户的击球率的分布是一个参数为 θ \theta的分布(这里 θ \theta既表示一个分布,也是这个分布的参数。因为在概率图模型中,我们经常使用某个分布的参数来代替说明某个模型),也就是说 θ \theta是用户击球成功的概率。假设,到目前为止,用户在这个赛季总共打了 n n次球,击中的次数是xx,这是一个二项式分布,即 p(y|θ)=Binomial(x;n,θ) p(y|\theta) = \text{Binomial}(x;n,\theta)。我们的目标就是推导 θ \theta分布的形式并估算这个参数的值。这就变成了在贝叶斯推断中的求后验概率的问题了:
p(\theta|y,\alpha,\beta)= \frac{p(y|\theta)p(\theta|\alpha,\beta)}{p(y)}
在这里,分母 p(y) p(y)是数据结果,也就是常数。分子第一个项是二项式分布,即 p(y|θ)=θx(1−θ)(n−x) p(y|\theta)=\theta^{x}(1-\theta)^{(n-x)},分子的第二项是Beta分布的结果了。详细结果后面再说。在这里,最后我们会发现 θ \theta也是一个Beta分布。其结果为 Beta(α+x,β+(n−x)) \text{Beta}(\alpha+x,\beta+(n-x))
比如,假设所有的运动员击球率在0.27左右,范围一般是0.21到0.35之间。这个可以用参数 α=81 \alpha=81和 β=219 \beta=219的Beta分布表示,即 Beta(81,219) \text{Beta}(81,219)。为什么参数取这两个值呢?因为这两个参数的Beta分布的均值是0.27,主要的区间是[0.2,0.35]。假设某个用户击球300次,成功100次,那么,根据计算的结果,用户的击球率的分布应当是 Beta(181,419) \text{Beta}(181,419),其概率大约是均值0.303,要比平均水平略高。
从上面这两个例子中我们可以看出,对于某个事件发生的可能的概率,当我们只有一些大概的了解,但无法知道确切的概率的时候,可以使用Beta分布表示这个概率分布。也就是说,Beta分布是用来为某些具有一定范围的事情建模的,例如0-1之间的概率。
三、为顺序统计量建模
假设有个机器可以随机产生[0,1]之间的随机数,机器运行10次,第7大的数是什么,偏离不超过0.01?这个问题的数学化表达如下:
1.
X\_{1},X\_{2},...,X\_{n} \sim Uniform(0,1),i.i.d.
2.将这n个随机变量排序得到顺序统计量
X\_{(1)},X\_{(2)},...,X\_{(n)}
3.问
X\_{(k)}的分布是什么?
我们可以假设计算
X\_{k}落在
[x,x+\Delta x]区间上的概率:
P(x \leq X_{k} \leq x+\Delta x)=?
我们将区间分成三个部分
[0,x),[x,x+\Delta x],(x+\Delta x,1]。假设只有1个数落在区间
[x,x+\Delta x]内,那么该事件可以表示:
E=\{ X_{1} \in [x,x+\Delta x], X_{i} \in [0,x)] ,X_{j} \in (x+\Delta x,1]\}
其中,
i=2,...,k,j=k+1,...,n
从而有:
P(E)=\prod_{i=1}^{n}P(x_{i})=x^{k-1}(1-x-\Delta x)^{n-k}\Delta x=x^{k-1}(1-x)^{n-k}\Delta x+o(\Delta x)
其中
o(\Delta x)表示
\Delta x的高阶无穷小。根据推断,落在
[x,x+\Delta x]区间的事件超过一个,则对应的事件概率就是
o(\Delta x)。进而我们可以得到
X\_{k}的概率密度为:
f(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{P(x\leq X_{k}\leq x+\Delta x)}{\Delta x}
= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k}
= \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}x^{k-1}(1-x)^{n-k}
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
上式即为一般意义上的beta分布。具体的推导过程可以参见《LDA数学八卦》。
四、旧货商服务质量推断
假设亚马逊上有三家旧货商,其评价结果分别如下:
商家一:85193个评论,94%的正向
商家二:20785个评论,98%的正向
商家三:840个评论,99%的正向
那么这三个商家中,哪一家的服务质量最好呢?假设这三家的服务质量分别是 θX \theta_X、 θY \theta_Y和 θZ \theta_Z。假设我们对三家旧货商的信息一无所知,那么这些参数的先验可以认为是一个均匀分布,也可以等同于 beta(1,1) \text{beta}(1,1)。根据之前的知识,我们知道,最终这三家旧货商的服务质量应当服从三个不同参数的Beta分布,即 beta(80082,5113) \text{beta}(80082,5113)、 beta(20370,417) \text{beta}(20370,417)和 beta(833,9) \text{beta}(833,9)(把正向的和负向的评论书算出来,分别加1就是参数了,参考上面公式)。注意,当Beta分布的参数很大的时候,我们可以使用相同均值和方差的正态分布代替这个beta分布。因此,最终这三家供货商,商家3的服务质量的标准差是0.003,是最大的。其他两家的标准差比这个还小。因此,我们可以认为这三家供货商的服务质量都高度聚焦于他们的均值。因此,从第一个或第二个分布中抽取的样本不太可能比第三个样本的值高。也就是说前两个服务商不太可能质量比第三个高。
参考1:https://stats.stackexchange.com/questions/47771/what-is-the-intuition-behind-beta-distribution
参考2:https://www.johndcook.com/blog/2011/09/27/bayesian-amazon/#comments
参考3:https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution
参考4:《LDA数学八卦》
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