NP-Completeness(NP完全问题)
NP-Completeness
- 复杂性(Complexity)和不可解性(Intractability)
- 判定性问题
- 定义
- P问题
- 定义
- NP问题
- NTM
- 定义1
- 定义2
- NP-完全问题
- 正式定义
- 非正式定义
- 证明问题π\piπ是NP-完全问题
- NP-难问题
- 定义
- 证明问题π\piπ是NP-难问题
- 例: 证明O3∣∣CmaxO3||C_{max}O3∣∣Cmax是NP-难问题
- P,NP,NPC和NPH的关系
复杂性(Complexity)和不可解性(Intractability)
NP完全问题具有复杂性(Complexity)和不可解性(Intractability)
判定性问题
定义
判定性问题是指需要回答YES和NO的一类问题。
任何一个优化问题都可以被转化为判定性问题
P问题
定义
如果能在确定性图灵机上找到多项式时间程序(算法)来解决判定性问题π\piπ，那么π\piπ就是P问题。
存在多项式时间算法的问题。
NP问题
NTM
非确定型图灵机（NTM）和确定型图灵机（DTM）的不同之处在于，在计算的每一时刻，根据当前状态和读写头所读的符号，机器存在多种状态转移方案，机器将任意地选择其中一种方案继续运作，直到最后停机为止。
定义1
如果能在非确定性图灵机上找到多项式时间程序(算法)来解决判定性问题π\piπ，那么π\piπ就是NP问题。
能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题。
定义2
如果能在非确定性图灵机上实现解决判定性问题π\piπ的检验问题的多项式时间程序(算法)，那么π\piπ就是NP问题。
NP-完全问题
正式定义
若语言L是NP，对其他所有NPL′L'L′，L′L'L′在多项式时间内传递LLL都成立。
非正式定义
可以用问题B的算法来解决A ，我们就说问题A可以约化成问题B
如果判定性问题π\piπ是NP问题，并且对其他所有属于NP问题的判定性问题π′\pi'π′，π′\pi'π′在多项式时间内约化成π\piπ都成立
存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。
证明问题π\piπ是NP-完全问题
- (1)证明π\piπ是NP问题
- (2)选择一个已知的NP-完全问题π′\pi'π′
- (3)建立从π′\pi'π′到π\piπ的转换关系fff
- (4)证明fff是一个多项式级的转换
NP-难问题
定义
给定一个问题π\piπ，如果任何NP问题均在多项式时间多一归约、对数空间多一归约或多项式时间图灵归约下归约于π\piπ，那么称π\piπ是一个NP困难问题。
所有的NP问题都能约化到它，但是它不一定是一个NP问题。
证明问题π\piπ是NP-难问题
- (1)选择一个已知的NP-完全问题π′\pi'π′
- (2)建立从π′\pi'π′到π\piπ的转换关系fff
- (3)证明fff是一个多项式级的转换
例: 证明O3∣∣CmaxO3||C_{max}O3∣∣Cmax是NP-难问题
- (1)选择一个已知的NP-完全问题π′\pi'π′
划分问题
- (2)建立从π′\pi'π′到π\piπ的转换关系fff
- (3)证明fff是一个多项式级的转换
P,NP,NPC和NPH的关系
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