基本想法

冲击波的爆炸由“蘑菇云”反映出来，“蘑菇云”越大，扩散速度越快，能量越大。

假设：爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播，爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播的越远。

泰勒测量：时刻t所对应的“蘑菇云” 的半径r
泰勒用量纲分析法建立数学模型，辅以小型试验，又利用测量数据对爆炸的能量进行估计。

量纲分析法

量纲齐次原则

动力学中基本量纲	导出量纲
长度l的量纲L[l]	速度v的量纲[v]=LT^-1
质量m的量纲M[m]	加速度a的量纲[a]=LT^-2
时间t的量纲T[t]	力f的量纲[f]=LMT^-2

引力常数k的量纲[k] (f=km1m2r2f=k\frac{m_1m_2}{r^2}f=kr2m1m2)
[k]=[f][l]2[m]−2=L3M−1T−2[k]=[f][l]^2[m]^{-2}=L^3M^{-1}T^{-2}[k]=[f][l]2[m]−2=L3M−1T−2
对无量纲量 α，α=1(=L⁰M⁰T⁰)

eg.单摆运动

求摆动周期的表达式
设物理量t，m，l，g之间有关系式，t=λmα1lα2ga3(1)t=λm^{α_1}l^{α_2}g^{a_3}\quad(1)t=λmα1lα2ga3(1)
α1,α2,α3为待定系数，λ为无量纲量α_1,α_2,α_3为待定系数，λ为无量纲量α1,α2,α3为待定系数，λ为无量纲量
(1)的量纲表达式[t]=[m]α1[l]α2[g]α3(1)的量纲表达式[t]=[m]^{α_1}[l]^{α_2}[g]^{α_3}(1)的量纲表达式[t]=[m]α1[l]α2[g]α3
推导出T=Mα1Lα2+α3T−2α3T=M^{α_1}L^{α_2+α_3}T^{-2α_3}T=Mα1Lα2+α3T−2α3

Pi定理

设f(q1,q2,...,qm)=0设f(q_1,q_2,...,q_m)=0设f(q1,q2,...,qm)=0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,...Xn是基本量纲，n≤m，q1,q2,...qm的量纲可表为[qj]=∏i=1nXiaij,j=1,2,...,m是与量纲单位无关的物理定律，X_1,X_2,...X_n是基本量纲，n≤m，q_1,q_2,...q_m的量纲可表为[q_j]= \prod_{i=1}^nX_i^{a_{ij}},j=1,2,...,m是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,...Xn是基本量纲，n≤m，q1,q2,...qm的量纲可表为[qj]=∏i=1nXiaij,j=1,2,...,m
量纲矩阵记作A={aij}n×m,若rankA=r量纲矩阵记作A=\{a_{ij}\}_{n×m},若rankA=r量纲矩阵记作A={aij}n×m,若rankA=r
线性齐次方程组有Ay=0有m−r个基本解，线性齐次方程组有Ay=0有m-r个基本解，线性齐次方程组有Ay=0有m−r个基本解，
记作ys=(ys1,ys2,...,ysm)T,s=1,2,...,m−r记作y_s=(y_{s1},y_{s2},...,y_{sm})^T,s=1,2,...,m-r记作ys=(ys1,ys2,...,ysm)T,s=1,2,...,m−r
则πs=∏j=1mqjyj(s)为m−r个无量纲的量，且则π_s=\prod_{j=1}^mq_j^{y_j(s)}为m-r个无量纲的量，且则πs=∏j=1mqjyj(s)为m−r个无量纲的量，且
F(π1,π2,...,πm−r)=0与f(q1,q2,...,qm)=0等价，F未定F(π_1,π_2,...,π_{m-r})=0与f(q_1,q_2,...,q_m)=0等价，F未定F(π1,π2,...,πm−r)=0与f(q1,q2,...,qm)=0等价，F未定

原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形，
时刻t球的半径为r
思考：r与哪些因素有关？
回答：t，E，空气密度ρ，大气压强P
得出r=φ(t,E,ρ,P)r=φ(t,E,ρ,P)r=φ(t,E,ρ,P)
进而有f(r,t,E,ρ,P)=0f(r,t,E,ρ,P)=0f(r,t,E,ρ,P)=0
基本量纲:L,M,TL,M,TL,M,T
量纲矩阵是

RankA=3导出Ay=0，y=(y1,y2,y3,y4,y5)T有2个基本解Rank A=3导出Ay=0，y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)^T有2个基本解RankA=3导出Ay=0，y=(y1,y2,y3,y4,y5)T有2个基本解

即得出
由于时间t非常短，能量非常大
借助小型爆炸数据确定λ≈1

空气密度ρ=1.25(kg/m³),用r，t的实际数据取平均，得出E=8.2825×10¹³(焦耳)。因为1千吨TNT炸药的能量是4.184×10¹²焦耳，可得爆炸的能量为E=19.7957(千吨)。

泰勒的计算(取对数)

r=(t2Eρ)15→log10r=25log10t+12log10(Eρ)→令y=c=12log10(Eρ)→y=52log10r−log10(t)r=(\frac{t^2E}{ρ})^{\frac{1}{5}}→log_{10}r=\frac{2}{5}log_{10}t+\frac{1}{2}log_{10}(\frac{E}{ρ})→令y=c=\frac{1}{2}log_{10}(\frac{E}{ρ})→y=\frac{5}{2}log_{10}r-log_{10}(t)r=(ρt2E)51→log10r=52log10t+21log10(ρE)→令y=c=21log10(ρE)→y=25log10r−log10(t)
取y平均值得c=6.9038取y平均值得c=6.9038取y平均值得c=6.9038
因此E=8.0276×1013(焦耳)即19.2吨因此E=8.0276×10^{13}(焦耳)即19.2吨因此E=8.0276×1013(焦耳)即19.2吨

最小二乘法拟合r=at^b

b=0.4058与2/5非常接近

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