电路图

信号流图

反射系数
Γn=Zn−Z0Zn+Z0{\Gamma _n} = \frac{{Z{{\kern 1pt} _n} - Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}}}{{Z{{\kern 1pt} _n} + Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}}}Γn​=Zn​+Z0​Zn​−Z0​​★
阻抗
Zn=Z01+Γn1−Γn{Z_n} = Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}\frac{{1 + {\Gamma _n}}}{{1 - {\Gamma _n}}}Zn​=Z0​1−Γn​1+Γn​​★
入/反射电压、电流与波
Vn+=Z0an{V_n}^ + = \sqrt {{Z_0}} {a_n}Vn​+=Z0​​an​
Vn−=Z0bn{V_n}^ - = \sqrt {{Z_0}} {b_n}Vn​−=Z0​​bn​
端口电压与入/反射电压
Vn=Vn++Vn−=anZ0(1+Γn){V_n} = V_n^ + + V_n^ - = {a_n}\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _n}} \right)Vn​=Vn+​+Vn−​=an​Z0​​(1+Γn​)
电源电压与入/反射电压
Vin=Vin++Vin−=VSZinZS+Zin=VS(1−ΓS)2(1−ΓSΓin)(1+Γin){V_{in}} = V_{in}^ + + V_{in}^ - = {V_S}\frac{{{Z_{in}}}}{{{Z_S} + {Z_{in}}}} = \frac{{{V_S}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}\left( {1 + {\Gamma _{in}}} \right)Vin​=Vin+​+Vin−​=VS​ZS​+Zin​Zin​​=2(1−ΓS​Γin​)VS​(1−ΓS​)​(1+Γin​)
Vin+=VS21−ΓS1−ΓSΓinV_{in}^ + = \frac{{{V_S}}}{2}\frac{{1 - {\Gamma _S}}}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}Vin+​=2VS​​1−ΓS​Γin​1−ΓS​​
Vin−=ΓinVin+V_{in}^ - = {\Gamma _{in}}V_{in}^ +Vin−​=Γin​Vin+​
电源参量关系
bS=VS2Z0(1−ΓS)=VSZ0ZS+Z0{b_S} = \frac{{{V_S}}}{{2\sqrt {{Z_0}} }}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right) = \frac{{{V_S}\sqrt {{Z_0}} }}{{{Z_S} + {Z_0}}}bS​=2Z0​​VS​​(1−ΓS​)=ZS​+Z0​VS​Z0​​​
负载参量关系
VL=boutZ0(1+ΓL){V_L} = {b_{out}}\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _L}} \right)VL​=bout​Z0​​(1+ΓL​)

放大器输入反射系数
Γin=b′SbS{\Gamma _{in}} = \frac{{{{b'}_S}}}{{{b_S}}}Γin​=bS​b′S​​
Δ0=1−S22ΓL{\Delta _0} = 1 - {S_{22}}{\Gamma _L}Δ0​=1−S22​ΓL​
P1=S11{P_1} = {S_{11}}P1​=S11​
Δ1=1−S22ΓL{\Delta _1} = 1 - {S_{22}}{\Gamma _L}Δ1​=1−S22​ΓL​
P2=S21S12ΓL{P_2} = {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}P2​=S21​S12​ΓL​
Δ2=1{\Delta _2} = 1Δ2​=1
Γin=P1Δ1+P2Δ2Δ0=S11(1−S22ΓL)+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{in}} = \frac{{{P_1}{\Delta _1} + {P_2}{\Delta _2}}}{{{\Delta _0}}}{\rm{ = }}\frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}\\ = {S_{11}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}Γin​=Δ0​P1​Δ1​+P2​Δ2​​=1−S22​ΓL​S11​(1−S22​ΓL​)+S21​S12​ΓL​​=S11​+1−S22​ΓL​S21​S12​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​★

放大器输出反射系数
Γout=bS′bS\Gamma_{\text {out}}=\frac{b_{S}^{\prime}}{b_{S}}Γout​=bS​bS′​​
Δ0=1−S11ΓS\Delta_{0}=1-S_{11} \Gamma_{S}Δ0​=1−S11​ΓS​
P1=S22P_{1}=S_{22}P1​=S22​
Δ1=1−S11ΓS\Delta_{1}=1-S_{11} \Gamma_{S}Δ1​=1−S11​ΓS​
P2=S21S12ΓSP_{2}=S_{21} S_{12} \Gamma_{S}P2​=S21​S12​ΓS​
Δ2=1\Delta_{2}=1Δ2​=1
Γout=P1Δ1+P2Δ2Δ0=S22(1−S11ΓS)+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22−ΔΓS1−S11ΓS{\Gamma _{out}} = \frac{{{P_1}{\Delta _1} + {P_2}{\Delta _2}}}{{{\Delta _0}}}{\rm{ = }}\frac{{{S_{22}}\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}\\ = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}Γout​=Δ0​P1​Δ1​+P2​Δ2​​=1−S11​ΓS​S22​(1−S11​ΓS​)+S21​S12​ΓS​​=S22​+1−S11​ΓS​S21​S12​ΓS​​=1−S11​ΓS​S22​−ΔΓS​​★
Δ=S11S22−S12S21\Delta=S_{11} S_{22}-S_{12} S_{21}Δ=S11​S22​−S12​S21​★

信号流图中的传递函数
Δ0=1−S11ΓS−S22ΓL−S12S21ΓSΓL+S11S22ΓSΓLP1=S21{\Delta _{{\rm{ 0}}}} = 1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L} + {S_{11}}{S_{22}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}\\ {P_1} = {S_{21}}Δ0​=1−S11​ΓS​−S22​ΓL​−S12​S21​ΓS​ΓL​+S11​S22​ΓS​ΓL​P1​=S21​
Δ1=1{\Delta _1} = 1Δ1​=1
G=boutbS=S211−S11ΓS−S22ΓL−S12S21ΓSΓL+S11S22ΓSΓL=S21(1−S11ΓS)(1−S22ΓL)−S12S21ΓSΓLG = \frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L} + {S_{11}}{S_{22}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}\\ = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}G=bS​bout​​=1−S11​ΓS​−S22​ΓL​−S12​S21​ΓS​ΓL​+S11​S22​ΓS​ΓL​S21​​=(1−S11​ΓS​)(1−S22​ΓL​)−S12​S21​ΓS​ΓL​S21​​
变换成源到负载的电压增益
boutbS=S21(1−S11ΓS)(1−S22ΓL)−S12S21ΓSΓLVLZ0(1+ΓL)VS2Z0(1−ΓS)=S21(1−S11ΓS)(1−S22ΓL)−S12S21ΓSΓL\frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}\\ \frac{{\frac{{{V_L}}}{{\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _L}} \right)}}}}{{\frac{{{V_S}}}{{2\sqrt {{Z_0}} }}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}bS​bout​​=(1−S11​ΓS​)(1−S22​ΓL​)−S12​S21​ΓS​ΓL​S21​​2Z0​​VS​​(1−ΓS​)Z0​​(1+ΓL​)VL​​​=(1−S11​ΓS​)(1−S22​ΓL​)−S12​S21​ΓS​ΓL​S21​​
放大器的电压增益
GVS=VLVS=S21(1+ΓL)(1−ΓS)2[(1−S11ΓS)(1−S22ΓL)−S12S21ΓSΓL]=S21(1+ΓL)(1−ΓS)2(1−S22ΓL)[1−ΓS(S11+S12S21ΓL1−S22ΓL)]=S21(1+ΓL)(1−ΓS)2(1−S22ΓL)[1−ΓSΓin]=S21(1+ΓL)(1−ΓS)2(1−S11ΓS)[1−ΓLΓout]{G_{VS}} = \frac{{{V_L}}}{{{V_S}}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left[ {\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}} \right]}}\\ = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _S}\left( {{S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}} \right)} \right]}}\\ = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right]}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right]}}GVS​=VS​VL​​=2[(1−S11​ΓS​)(1−S22​ΓL​)−S12​S21​ΓS​ΓL​]S21​(1+ΓL​)(1−ΓS​)​=2(1−S22​ΓL​)[1−ΓS​(S11​+1−S22​ΓL​S12​S21​ΓL​​)]S21​(1+ΓL​)(1−ΓS​)​=2(1−S22​ΓL​)[1−ΓS​Γin​]S21​(1+ΓL​)(1−ΓS​)​=2(1−S11​ΓS​)[1−ΓL​Γout​]S21​(1+ΓL​)(1−ΓS​)​

9.1 放大器的稳定性

放大器输入反射系数
Γin=S11(1−S22ΓL)+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{in}} = \frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}\\ = {S_{11}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}Γin​=1−S22​ΓL​S11​(1−S22​ΓL​)+S21​S12​ΓL​​=S11​+1−S22​ΓL​S21​S12​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​★
放大器输出反射系数
Γout=S22(1−S11ΓS)+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22−ΔΓS1−S11ΓS{\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}}\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}\\ = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}Γout​=1−S11​ΓS​S22​(1−S11​ΓS​)+S21​S12​ΓS​​=S22​+1−S11​ΓS​S21​S12​ΓS​​=1−S11​ΓS​S22​−ΔΓS​​★
S参数是放大器的内部参数
ΓS{\Gamma _S}ΓS​、ΓL{\Gamma _L}ΓL​是信号源及负载参数，作为放大器的外部参数
放大器稳定性研究就是研究放大器增益极点与这些参数的关系。

单向传输放大器 S12=0{S_{12}} = 0S12​=0

放大器输入反射系数 Γin=S11{\Gamma _{in}} = {S_{11}}Γin​=S11​
放大器输出反射系数 Γout=S22{\Gamma _{out}} = {S_{22}}Γout​=S22​
放大器的电压增益
GVS=S21(1+ΓL)(1−ΓS)2(1−ΓinΓS)(1−ΓoutΓL){G_{VS}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {\Gamma _{in}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _{out}}{\Gamma _L}} \right)}}GVS​=2(1−Γin​ΓS​)(1−Γout​ΓL​)S21​(1+ΓL​)(1−ΓS​)​
如果∣Γin∣≥1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| \ge 1∣Γin​∣≥1或∣Γout∣≥1\left| {{\Gamma _{out}}} \right| \ge 1∣Γout​∣≥1
就可能存在某个ΓS{\Gamma _S}ΓS​或ΓL{\Gamma _L}ΓL​
使得1−ΓinΓS=01 - {\Gamma _{in}}{\Gamma _S} = 01−Γin​ΓS​=0或1−ΓoutΓL=01 - {\Gamma _{out}}{\Gamma _L} = 01−Γout​ΓL​=0
从而使放大器出现极点，成为不稳定因素。

一般放大器模型 S12≠0{S_{12}} ≠ 0S12​​=0

放大器输入反射系数
Γin=S11(1−S22ΓL)+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11+S21S12ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{in}} = \frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}\\ = {S_{11}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}Γin​=1−S22​ΓL​S11​(1−S22​ΓL​)+S21​S12​ΓL​​=S11​+1−S22​ΓL​S21​S12​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​★
放大器输出反射系数
Γout=S22(1−S11ΓS)+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22−ΔΓS1−S11ΓS{\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}}\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}\\ = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}Γout​=1−S11​ΓS​S22​(1−S11​ΓS​)+S21​S12​ΓS​​=S22​+1−S11​ΓS​S21​S12​ΓS​​=1−S11​ΓS​S22​−ΔΓS​​★
放大器的电压增益
显然(1−S11ΓS)=0\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)=0(1−S11​ΓS​)=0或(1−S22ΓL)=0\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)=0(1−S22​ΓL​)=0不是增益极点
也只需对∣Γin∣≥1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| \ge 1∣Γin​∣≥1或∣Γout∣≥1\left| {{\Gamma _{out}}} \right| \ge 1∣Γout​∣≥1的情况进行分析

又因为ΓL{\Gamma _L}ΓL​、ΓS{\Gamma _S}ΓS​的无源特性有∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1、∣ΓS∣≤1\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1∣ΓS​∣≤1
所以只需∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1、∣Γout∣<1\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1∣Γout​∣<1
便可使放大器工作于稳定状态
由于放大器的输入输入阻抗受信号源阻抗和负载阻抗的影响，因此稳定性分为两类
1、绝对稳定：
在任何外部条件下满足稳定条件
2、条件稳定：
在限定外部条件下（外部接入阻抗范围）满足稳定条件

9.1.1.1 稳定性判定圆 教材316页 PDF332页

输入反射系数Γin{\Gamma _{in}}Γin​

用图像表示输入反射系数Γin{\Gamma _{in}}Γin​与负载的关系，以及输出阻抗与源阻抗的关系
从而确定放大器稳定条件。
放大器输入反射系数
Γin=S11+S12S21ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL⇔ΓL=S11−ΓinΔ−S22Γin{\Gamma _{in}} = {S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{\rm{ = }} \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} \Leftrightarrow {\Gamma _L} = \frac{{{S_{11}} - {\Gamma _{in}}}}{{\Delta - {S_{22}}{\Gamma _{in}}}}Γin​=S11​+1−S22​ΓL​S12​S21​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​⇔ΓL​=Δ−S22​Γin​S11​−Γin​​
上述方程的可逆性意味着当放大器的S参数确定时
放大器输入反射系数Γin{\Gamma _{in}}Γin​与负载反射系数ΓL{\Gamma _L}ΓL​是一一对应的，即
Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上的一个点对应了ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的唯一一个点，反之亦然。
Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上的圆∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = 1∣Γin​∣=1对应
ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的圆∣S11−ΔΓL1−S22ΓL∣=1\left| {\frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}} \right| = 1∣∣∣​1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​∣∣∣​=1

推导|S11|<1时的绝对稳定

推导|S11|<1时的绝对稳定
放大器输入反射系数
Γin=S11+S12S21ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{in}} = {S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{\rm{ = }} \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}Γin​=S11​+1−S22​ΓL​S12​S21​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​
当∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1时，ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点
在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1∣Γin​∣=1的A圆外
在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上，在∣Γin∣=∣S11∣ΓL=0<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} < 1∣Γin​∣=∣S11​∣ΓL​=0​<1的C圆内
也就是说，C圆内的点→A圆外的点

放大器稳定对输入端阻抗应满足∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1、∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1
所以在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣ΓL∣=1\left| {{\Gamma _{L}}} \right| =1∣ΓL​∣=1的B圆内
即同时满足在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的ΓL{\Gamma _L}ΓL​点既在B圆内，又在A圆外，也就是左图的阴影区内

推导|S11|>1时的绝对稳定

推导|S11|>1时的绝对稳定

当∣S11∣>1\left| {{S_{11}}} \right| > 1∣S11​∣>1时，ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点
在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1∣Γin​∣=1的A圆外
在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上，在∣Γin∣=∣S11∣ΓL=0>1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} > 1∣Γin​∣=∣S11​∣ΓL​=0​>1的C圆外
也就是说，C圆内的点→A圆内的点

放大器稳定对输入端阻抗应满足∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1、∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1
所以在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣ΓL∣=1\left| {{\Gamma _{L}}} \right| =1∣ΓL​∣=1的B圆内
即同时满足在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的ΓL{\Gamma _L}ΓL​点既在B圆内，又在A圆内，也就是左图的阴影区内

当∣S11∣>1\left| {{S_{11}}} \right| > 1∣S11​∣>1时，ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点
在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1∣Γin​∣=1的A圆内
在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上，在∣Γin∣=∣S11∣ΓL=0>1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} > 1∣Γin​∣=∣S11​∣ΓL​=0​>1的C圆外
也就是说，C圆内的点→A圆外的点

放大器稳定对输入端阻抗应满足∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1、∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1
所以在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣ΓL∣=1\left| {{\Gamma _{L}}} \right| =1∣ΓL​∣=1的B圆内
即同时满足在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的ΓL{\Gamma _L}ΓL​点既在B圆内，又在A圆外，也就是左图的阴影区内

当∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1时，ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点
在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1∣Γin​∣=1的A圆内
在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上，在∣Γin∣=∣S11∣ΓL=0<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} < 1∣Γin​∣=∣S11​∣ΓL​=0​<1的C圆内
也就是说，C圆内的点→A圆内的点

放大器稳定对输入端阻抗应满足∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1、∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1
所以在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上，在∣ΓL∣=1\left| {{\Gamma _{L}}} \right| =1∣ΓL​∣=1的B圆内
即同时满足在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的ΓL{\Gamma _L}ΓL​点既在B圆内，又在A圆内，也就是左图的阴影区内

稳定对比表

稳定对比表

∥S11∥\| {{S_{11}}} \|∥S11​∥	ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点	ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点	稳定区 ∥Γin∥<1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| < 1∥Γin​∥<1、∥ΓL∥≤1\left\| {{\Gamma _L}} \right\| \le 1∥ΓL​∥≤1	稳定区 ∥Γin∥<1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| < 1∥Γin​∥<1、∥ΓL∥≤1\left\| {{\Gamma _L}} \right\| \le 1∥ΓL​∥≤1
	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的	在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上的	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的
	∥Γin∥=1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| =1∥Γin​∥=1的圆 即A圆	∥Γin∥=∥S11∥ΓL=0\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| = {\left\| {{S_{11}}} \right\|_{{\Gamma _L} = 0}}∥Γin​∥=∥S11​∥ΓL​=0​的圆 即C圆	∥ΓL∥=1\left\| {{\Gamma _{L}}} \right\| =1∥ΓL​∥=1的圆 即B圆	∥Γin∥=1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| =1∥Γin​∥=1的圆 即A圆
< 1	外	内	内	外
> 1	外	外	内	内
< 1	内	内	内	内
> 1	内	外	内	外

输出反射系数Γout{\Gamma _{out}}Γout​

放大器输出反射系数
Γout=S22+S21S12ΓS1−S11ΓS=S22−ΔΓS1−S11ΓS{\Gamma _{out}} = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}Γout​=S22​+1−S11​ΓS​S21​S12​ΓS​​=1−S11​ΓS​S22​−ΔΓS​​
输出稳定条件
∣Γout∣<1\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1∣Γout​∣<1且∣ΓS∣≤1\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1∣ΓS​∣≤1

9.1.1.2 绝对稳定

放大器输入反射系数
Γin=S11+S12S21ΓL1−S22ΓL=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{in}} = {S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{\rm{ = }} \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}Γin​=S11​+1−S22​ΓL​S12​S21​ΓL​​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​
无论放大器输入输出接任何无源负载，都能保证放大器稳定。
即只要∣ΓS∣≤1\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1∣ΓS​∣≤1、∣ΓL∣≤1\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1∣ΓL​∣≤1就一定满足∣Γout∣<1\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1∣Γout​∣<1、∣Γin∣<1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1∣Γin​∣<1★★★★

输入端

稳定对比表

∥S11∥\| {{S_{11}}} \|∥S11​∥	ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点	ΓL=0{\Gamma _L} = 0ΓL​=0对应的点	稳定区 ∥Γin∥<1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| < 1∥Γin​∥<1、∥ΓL∥≤1\left\| {{\Gamma _L}} \right\| \le 1∥ΓL​∥≤1	稳定区 ∥Γin∥<1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| < 1∥Γin​∥<1、∥ΓL∥≤1\left\| {{\Gamma _L}} \right\| \le 1∥ΓL​∥≤1
	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的	在Γin{\Gamma _{in}}Γin​平面上的	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的	在ΓL{\Gamma _L}ΓL​平面上的
	∥Γin∥=1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| =1∥Γin​∥=1的圆 即A圆	∥Γin∥=∥S11∥ΓL=0\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| = {\left\| {{S_{11}}} \right\|_{{\Gamma _L} = 0}}∥Γin​∥=∥S11​∥ΓL​=0​的圆 即C圆	∥ΓL∥=1\left\| {{\Gamma _{L}}} \right\| =1∥ΓL​∥=1的圆 即B圆	∥Γin∥=1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| =1∥Γin​∥=1的圆 即A圆
< 1	外	内	内	外
> 1	外	外	内	内
< 1	内	内	内	内
> 1	内	外	内	外

推导|S11|<1时的绝对稳定
当|S11|<1时，满足输入端稳定的图形为
左边是| < 1 | 外 | 内 | 内 | 外 |
右边是| < 1 | 内 | 内 | 内 | 内 |，∣Γin∣=1\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = 1∣Γin​∣=1的圆更大，圆心不一定在原点

就是说需满足∣∣Cin∣−rin∣>1\left| {\left| {{C_{in}}} \right| - {r_{in}}} \right| > 1∣∣Cin​∣−rin​∣>1
∥Γin∥=1\left\| {{\Gamma _{in}}} \right\| =1∥Γin​∥=1的圆 即A圆
圆心与圆点的距离 = ∣Cin∣\left| {{C_{in}}} \right|∣Cin​∣
半径rin{r_{in}}rin​

推导|S11|>1时的绝对稳定
当|S11|>1时，无绝对稳定★

输出端

绝对稳定条件
∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1、∣∣Cin∣−rin∣>1\left|\left| {{C_{in}}} \right| - {r_{in}} \right| > 1∣∣Cin​∣−rin​∣>1
∣S22∣<1\left| {{S_{22}}} \right| < 1∣S22​∣<1、∣∣Cout∣−rout∣>1\left|\left| {{C_{out}}} \right| - {r_{out}}\right| > 1∣∣Cout​∣−rout​∣>1

必要条件

放大器稳定因子k（Pollett 稳定因子）
k=1−∣S11∣2−∣S22∣2+∣Δ∣22∣S12S21∣>1k = \frac{{1 - {{\left| {{S_{11}}} \right|}^2} - {{\left| {{S_{22}}} \right|}^2} + {{\left| \Delta \right|}^2}}}{{2\left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right|}} > 1k=2∣S12​S21​∣1−∣S11​∣2−∣S22​∣2+∣Δ∣2​>1
∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1
∣S22∣<1\left| {{S_{22}}} \right| < 1∣S22​∣<1

充分条件

1−∣S11∣2−∣S12S21∣>01−∣S22∣2−∣S12S21∣>01 - {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - \left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right| > 0\\ 1 - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - \left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right| > 01−∣S11​∣2−∣S12​S21​∣>01−∣S22​∣2−∣S12​S21​∣>0
∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1
∣S22∣<1\left| {{S_{22}}} \right| < 1∣S22​∣<1

绝对稳定工程条件

绝对稳定工程条件
放大器稳定因子k（Pollett 稳定因子）
k=1−∣S11∣2−∣S22∣2+∣Δ∣22∣S12S21∣>1k = \frac{{1 - {{\left| {{S_{11}}} \right|}^2} - {{\left| {{S_{22}}} \right|}^2} + {{\left| \Delta \right|}^2}}}{{2\left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right|}} > 1k=2∣S12​S21​∣1−∣S11​∣2−∣S22​∣2+∣Δ∣2​>1★
∣Δ∣=∣S11S22−S12S21∣<1\left| \Delta \right| = \left| {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right| < 1∣Δ∣=∣S11​S22​−S12​S21​∣<1★
∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1
∣S22∣<1\left| {{S_{22}}} \right| < 1∣S22​∣<1

例题

放大器的S参数如下表所示
频率MHzS11S12S21S225000.70∠−57∘0.04∠47∘10.7∠136∘0.79∠−33∘7500.56∠−78∘0.05∠33∘8.6∠122∘0.66∠−42∘10000.46∠−97∘0.06∠22∘7.1∠112∘0.57∠−48∘12500.38∠−115∘0.06∠14∘6.0∠104∘0.50∠−52∘\begin{array}{l} 频率{{\rm{MHz}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{11}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{21}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{22}}}}}\\ {500}&{0.70\angle {\rm{ - }}{{57}^ \circ }}&{0.04\angle {{47}^ \circ }}&{10.7\angle {{136}^ \circ }}&{0.79\angle {\rm{ - }}{{33}^ \circ }}\\ {750}&{0.56\angle {\rm{ - }}{{78}^ \circ }}&{0.05\angle {{33}^ \circ }}&{8.6\angle {{122}^ \circ }}&{0.66\angle {\rm{ - }}{{42}^ \circ }}\\ {1000}&{0.46\angle {\rm{ - }}{{97}^ \circ }}&{0.06\angle {{22}^ \circ }}&{7.1\angle {{112}^ \circ }}&{0.57\angle {\rm{ - }}{{48}^ \circ }}\\ {1250}&{0.38\angle {\rm{ - }}{{115}^ \circ }}&{0.06\angle {{14}^ \circ }}&{6.0\angle {{104}^ \circ }}&{0.50\angle {\rm{ - }}{{52}^ \circ }} \end{array}频率MHz50075010001250​S11​0.70∠−57∘0.56∠−78∘0.46∠−97∘0.38∠−115∘​S12​0.04∠47∘0.05∠33∘0.06∠22∘0.06∠14∘​S21​10.7∠136∘8.6∠122∘7.1∠112∘6.0∠104∘​S22​0.79∠−33∘0.66∠−42∘0.57∠−48∘0.50∠−52∘​
从题中可知各频率都满足∣S11∣<1\left| {{{\rm{S}}_{{\rm{11}}}}} \right|{\rm{ < 1}}∣S11​∣<1、∣S22∣<1\left| {{{\rm{S}}_{{\rm{22}}}}} \right|{\rm{ < 1}}∣S22​∣<1

k=1−∣S11∣2−∣S22∣2+∣Δ∣22∣S12S21∣k = \frac{{1 - {{\left| {{S_{11}}} \right|}^2} - {{\left| {{S_{22}}} \right|}^2} + {{\left| \Delta \right|}^2}}}{{2\left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right|}}k=2∣S12​S21​∣1−∣S11​∣2−∣S22​∣2+∣Δ∣2​
∣Δ∣=∣S11S22−S12S21∣\left| \Delta \right| = \left| {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right|∣Δ∣=∣S11​S22​−S12​S21​∣
Cin=(S22−ΔS11∗)∗∣S22∣2−∣Δ∣2{C_{in}} = \frac{{{{\left( {S_{22}^{} - \Delta S_{11}^*} \right)}^*}}}{{{{\left| {S_{22}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}Cin​=∣S22​∣2−∣Δ∣2(S22​−ΔS11∗​)∗​
rin=∣S12S21∣S22∣2−∣Δ∣2∣r_{in} = \left| {\frac{{{S_{12}}{S_{21}}}}{{{{\left| {S_{22}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}} \right|rin​=∣∣∣∣​∣S22​∣2−∣Δ∣2S12​S21​​∣∣∣∣​
Cout=(S11−ΔS22∗)∗∣S11∣2−∣Δ∣2{C_{out}} = \frac{{{{\left( {S_{11}^{} - \Delta S_{22}^*} \right)}^*}}}{{{{\left| {S_{11}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}Cout​=∣S11​∣2−∣Δ∣2(S11​−ΔS22∗​)∗​
rout=∣S12S21∣S11∣2−∣Δ∣2∣{r_{out}} = \left| {\frac{{{S_{12}}{S_{21}}}}{{{{\left| {S_{11}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}} \right|rout​=∣∣∣∣​∣S11​∣2−∣Δ∣2S12​S21​​∣∣∣∣​

频率MHz50075010001250k∣Δ∣CinrinCoutrout0.410.6939.04∠108∘38.623.56∠70∘3.030.600.5662.21∠119∘61.604.12∠70∘3.440.810.45206.23∠131∘205.424.36∠69∘3.541.020.3742.42∠143∘41.404.24∠68∘3.22\begin{array}{l} 频率{{\rm{MHz}}}\\ {500}\\ {750}\\ {1000}\\ {1250} \end{array}{\rm{ }}\begin{array}{l} k&{\left| \Delta \right|}&{{C_{in}}}&{{r_{in}}}&{{C_{out}}}&{{r_{out}}}\\ {0.41}&{0.69}&{39.04\angle {{108}^ \circ }}&{38.62}&{3.56\angle {{70}^ \circ }}&{3.03}\\ {0.60}&{0.56}&{62.21\angle {{119}^ \circ }}&{61.60}&{4.12\angle {{70}^ \circ }}&{3.44}\\ {0.81}&{0.45}&{206.23\angle {{131}^ \circ }}&{205.42}&{4.36\angle {{69}^ \circ }}&{3.54}\\ {1.02}&{0.37}&{42.42\angle {{143}^ \circ }}&{41.40}&{4.24\angle {{68}^ \circ }}&{3.22} \end{array}频率MHz50075010001250​k0.410.600.811.02​∣Δ∣0.690.560.450.37​Cin​39.04∠108∘62.21∠119∘206.23∠131∘42.42∠143∘​rin​38.6261.60205.4241.40​Cout​3.56∠70∘4.12∠70∘4.36∠69∘4.24∠68∘​rout​3.033.443.543.22​
从上表中可以看出只有在1250MHz满足绝对稳定工程条件
k>1k > 1k>1
∣Δ∣<1\left| \Delta \right| < 1∣Δ∣<1

红线为输入圆
蓝线为输出圆
绝对稳定工程条件
∣S11∣<1\left| {{S_{11}}} \right| < 1∣S11​∣<1、∣S22∣<1\left| {{S_{22}}} \right| < 1∣S22​∣<1

判断稳定区域

若放大器的输入信号源阻抗与输出负载阻抗相同
其S参数满足|S11|<1； |S22|<1，稳定圆图形如下，判断其稳定区域

9.1.1.3 放大器稳定措施

1、在输入输出回路中串联或并联电阻，改变等效S11或S22
2、采用局部负反馈改变S参数
各种方法各有特点，稳定性设计是一个综合问题
需根据实际情况进行权衡，选择。

9.1.2 射频放大器的功率增益

高频电路中一般将各种模块单元都作为四端网络，为了电路的通用化设计，一般规定网络的输入输出阻抗都遵循一标称值。典型的有50Ω和75Ω标准。
放大器增益有电压/电流增益等，这些增益大都包含相位参量
如果不考虑相位参量，一般用功率增益表示
放大器增益一般用实工功率比表示。
如果放大器输入输出阻抗为相等的实参量
在不考虑相位的条件下，电压增益与功率增益的值相等。

功率定义
以下公式中，假设信号为单频信号，电压，电流用峰值表示
功率用平均功率表示

1、资用功率（available power）PA{P_A}PA​

指信号源或者放大器输出端能够输出的最大功率
它是信号源输出能力的表征，与负载无关
但是，如果负载上要获得这种最大的功率，负载必须与信号源内阻形成共轭匹配ZL=ZS∗{Z_L} = Z_S^*ZL​=ZS∗​
其资用功率可表示为：
PA=12Re{VinIin∗}Zin=ZS∗=12Re{VSZinZS+ZinVS∗(ZS+Zin)∗}=∣VS∣28RS{P_A} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} {\left\{ {{V_{in}}I_{in}^*} \right\}_{{Z_{in}} = Z_S^*}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{V_S}{Z_{in}}}}{{{Z_S} + {Z_{in}}}}\frac{{V_S^*}}{{{{\left( {Z_S^{} + {Z_{in}}} \right)}^*}}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_S^{}} \right|}^2}}}{{8{R_S}}}PA​=21​Re{Vin​Iin∗​}Zin​=ZS∗​​=21​Re{ZS​+Zin​VS​Zin​​(ZS​+Zin​)∗VS∗​​}=8RS​∣VS​∣2​
用特征阻抗Z0及反射系数表示为
PA=∣VS∣28Z0∣1−ΓS∣21−∣ΓS∣2{P_A} = \frac{{{{\left| {V_S^{}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - \Gamma _S^{}} \right|}^2}}}{{1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}}}PA​=8Z0​∣VS​∣2​1−∣ΓS​∣2∣1−ΓS​∣2​

2、输入功率Pin{P_{in}}Pin​

是指放大器或网络输入端实际接收到的功率。
Pin=Re{∣Vin∣22Zin∗}=∣Vin∣22∣Zin∣2Re(Zin){P_{in}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{{\left| {V_{in}^{}} \right|}^2}}}{{2Z_{in}^*}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_{in}^{}} \right|}^2}}}{{2{{\left| {{Z_{in}}} \right|}^2}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_{in}}} \right)Pin​=Re{2Zin∗​∣Vin​∣2​}=2∣Zin​∣2∣Vin​∣2​Re(Zin​) {Vin为输入端电压Zin为输入端阻抗\left\{ \begin{array}{l} V_{in}为输入端电压\\ {Z_{in}}为输入端阻抗 \end{array} \right.{Vin​为输入端电压Zin​为输入端阻抗​

3、输出功率Pout{P_{out}}Pout​

是指信号源实际输出到负载上的功率 = 负载上消耗的功率
Pout=Re{∣Vout∣22ZL∗}=∣Vout∣22∣ZL∣2Re(ZL){P_{out}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{{\left| {V_{out}^{}} \right|}^2}}}{{2Z_L^*}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_{out}^{}} \right|}^2}}}{{2{{\left| {{Z_L}} \right|}^2}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_L}} \right)Pout​=Re{2ZL∗​∣Vout​∣2​}=2∣ZL​∣2∣Vout​∣2​Re(ZL​) {Vout为输出端电压ZL为负载阻抗\left\{ \begin{array}{l} V_{out}为输出端电压\\ {Z_L}为负载阻抗 \end{array} \right.{Vout​为输出端电压ZL​为负载阻抗​

1、功率转换增益 GTG_TGT​★

负载吸收功率PLP_LPL​ / 信号源资用功率PAP_APA​
物理意义：信号源到负载的增益，当输入匹配时获得最大值
注意：功率转换增益GTG_TGT​不是放大器自身决定的
功率转换增益GTG_TGT​与信号源内阻及所连接的负载有关
GT=PLPA=(1−∣ΓS∣2)∣S21∣2(1−∣ΓL∣2)∣1−S22ΓL∣2∣1−ΓSΓin∣2=(1−∣ΓS∣2)∣S21∣2(1−∣ΓL∣2)∣1−S11ΓS∣2∣1−ΓLΓout∣2{G_T} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right|}^2}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right|}^2}}}GT​=PA​PL​​=∣1−S22​ΓL​∣2∣1−ΓS​Γin​∣2(1−∣ΓS​∣2)∣S21​∣2(1−∣ΓL​∣2)​=∣1−S11​ΓS​∣2∣1−ΓL​Γout​∣2(1−∣ΓS​∣2)∣S21​∣2(1−∣ΓL​∣2)​
PL=∣VS∣28Z0∣1−ΓS∣2∣S21∣2(1−∣ΓL∣2)∣1−S22ΓL∣2∣1−ΓSΓin∣2=∣VS∣28Z0∣1−ΓS∣2∣S21∣2(1−∣ΓL∣2)∣1−S11ΓS∣2∣1−ΓLΓout∣2{P_L} = \frac{{{{\left| {{V_S}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - {\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right|}^2}}} = \frac{{{{\left| {{V_S}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - {\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right|}^2}}}PL​=8Z0​∣VS​∣2​∣1−S22​ΓL​∣2∣1−ΓS​Γin​∣2∣1−ΓS​∣2∣S21​∣2(1−∣ΓL​∣2)​=8Z0​∣VS​∣2​∣1−S11​ΓS​∣2∣1−ΓL​Γout​∣2∣1−ΓS​∣2∣S21​∣2(1−∣ΓL​∣2)​
PA=VS28Z0∣1−ΓS∣21−∣ΓS∣2{P_A} = \frac{{V_S^2}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - \Gamma _S^{}} \right|}^2}}}{{1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}}}PA​=8Z0​VS2​​1−∣ΓS​∣2∣1−ΓS​∣2​

2、资用功率增益 GA{G_A}GA​★

负载可能获得的最大功率PLmax⁡P_{L\max }PLmax​ / 信号源资用功率PAP_APA​
注意：
1、负载上可能获得的最大功率PLmax⁡P_{L\max }PLmax​实际上在表述前级放大器的输出能力。也就是前级放大器输出端提供给后级的资用功率。
2、资用功率增益GA{G_A}GA​和功率转换增益GTG_TGT​都与信号源有关，连接不同的信号源获得的增益是不同的。
3、资用功率增益GA{G_A}GA​与负载无关
GA=GT∣ΓL=Γout∗=PLmax⁡PA=(1−∣ΓS∣2)∣S21∣2∣1−S11ΓS∣2(1−∣Γout∣2){G_A} = {\left. {{G_T}} \right|_{{\Gamma _L} = \Gamma _{out}^*}} = \frac{{{P_{L\max }}}}{{{P_A}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _{out}}} \right|}^2}} \right)}}GA​=GT​∣ΓL​=Γout∗​​=PA​PLmax​​=∣1−S11​ΓS​∣2(1−∣Γout​∣2)(1−∣ΓS​∣2)∣S21​∣2​

3、工作功率增益 GP{G_P}GP​★

负载获得的功率PLP_LPL​ / 放大器输入端获得的功率PinP_{in}Pin​ = 放大器输出功率 / 输入功率
注意：
工作功率增益GP{G_P}GP​与信号源无关
工作功率增益GP{G_P}GP​与所接的负载有关。
当信号源与输入阻抗匹配时，放大器输入端获得信号源的资用功率，而工作增益不变。因此通常假定在输入匹配的条件下研究工作增益。
GP=PLPin=PLPAPAPin=GTPAPin=∣S21∣2(1−∣ΓL∣2)∣1−S22ΓL∣2(1−∣Γin∣2){G_P} = \frac{{{P_L}}}{{{P_{in}}}} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}}\frac{{{P_A}}}{{{P_{in}}}} = {G_T}\frac{{{P_A}}}{{{P_{in}}}} = \frac{{{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _{in}}} \right|}^2}} \right)}}GP​=Pin​PL​​=PA​PL​​Pin​PA​​=GT​Pin​PA​​=∣1−S22​ΓL​∣2(1−∣Γin​∣2)∣S21​∣2(1−∣ΓL​∣2)​

三种功率增益定义的关系★★

	信号源	负载
功率转换增益 GT=PLPA{G_T} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}}GT​=PA​PL​​	有关	有关
资用功率增益 GA=GT∥ΓL=Γout∗=PLmax⁡PA{G_A} = {\left. {{G_T}} \right\|_{{\Gamma _L} = \Gamma _{out}^*}} = \frac{{{P_{L\max }}}}{{{P_A}}}GA​=GT​∥ΓL​=Γout∗​​=PA​PLmax​​	有关	无关
工作功率增益 GP=PLPin{G_P} = \frac{{{P_L}}}{{{P_{in}}}}GP​=Pin​PL​​	无关	有关

当输入匹配时Pin=PA⇒GT=GP{P_{in}} = {P_A}\Rightarrow {G_T} = {G_P}Pin​=PA​⇒GT​=GP​
当输出匹配时PL=PLmax⁡⇒GT=GA{P_L} = {P_{L\max }}\Rightarrow {G_T} = {G_A}PL​=PLmax​⇒GT​=GA​
当输入输出都匹配时GT=GA=GP{G_T} = {G_A} = {G_P}GT​=GA​=GP​
注意：三种功率增益都与ZSZ_SZS​和ZLZ_LZL​有关

射频放大器的设计

通常的工程环境是给定信号源特征，PA及ZS，给定负载阻抗ZL，设计放大器，使负载上的信号功率达到技术指标要求。即GT的设计。

最大增益设计（输入输出端共轭匹配）

ΓS∗=Γin=S11−ΔΓL1−S22ΓL{\Gamma _{\rm{S}}}^ * = {\Gamma _{{\mathop{\rm in}\nolimits} }} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}ΓS​∗=Γin​=1−S22​ΓL​S11​−ΔΓL​​
ΓL∗=Γout=S22−ΔΓS1−S11ΓS{\Gamma _{\rm{L}}}^ * = {\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}ΓL​∗=Γout​=1−S11​ΓS​S22​−ΔΓS​​

A=S22∗Δ−S11B=1+∣S11∣2−∣S22∣2−∣Δ∣2C=S11∗−Δ∗S22=−(S22∗Δ−S11)∗=−A1∗B2−4AC=B2+4∣A∣2≥0A = S_{22}^*\Delta - {S_{11}}\\ B = 1 + {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2}{\rm{ }}\\ C = S_{11}^* - \Delta _{}^*{S_{22}} = - {\left( {S_{22}^*\Delta - {S_{11}}} \right)^*} = - A_1^*\\ B_{}^2 - 4AC = B_{}^2 + 4{\left| {{A_{}}} \right|^2} \ge 0A=S22∗​Δ−S11​B=1+∣S11​∣2−∣S22​∣2−∣Δ∣2C=S11∗​−Δ∗​S22​=−(S22∗​Δ−S11​)∗=−A1∗​B2​−4AC=B2​+4∣A​∣2≥0

B1=1+∣S11∣2−∣S22∣2−∣Δ∣2=BC1=S11−ΔS22∗=−A{B_1} = 1 + {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2} = B\\ {C_1} = {S_{11}} - \Delta S_{22}^* = - AB1​=1+∣S11​∣2−∣S22​∣2−∣Δ∣2=BC1​=S11​−ΔS22∗​=−A

ΓS=−B±B2+4∣A∣22A=B1±B12+4∣C1∣22C1{\Gamma _S}=\frac{{ - {B_{}} \pm \sqrt {B_{}^2 + 4{{\left| {{A_{}}} \right|}^2}} }}{{2{A_{}}}} = \frac{{{B_1} \pm \sqrt {B_1^2 + 4{{\left| {{C_1}} \right|}^2}} }}{{2{C_1}}}ΓS​=2A​−B​±B2​+4∣A​∣2​​=2C1​B1​±B12​+4∣C1​∣2​​

ΓL=B2±B22+4∣C2∣22C2{\Gamma _L}{\rm{ = }}\frac{{{B_2} \pm \sqrt {B_2^2 + 4{{\left| {{C_2}} \right|}^2}} }}{{2{C_2}}}ΓL​=2C2​B2​±B22​+4∣C2​∣2​​
B2=1+∣S22∣2−∣S11∣2−∣Δ∣2{B_2} = 1 + {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2}{\rm{ }}B2​=1+∣S22​∣2−∣S11​∣2−∣Δ∣2
C2=S22−ΔS11∗{C_2} = {S_{22}} - \Delta S_{11}^*C2​=S22​−ΔS11∗​

a1bs=1−S22ΓL1−S11ΓS−S22ΓL+ΓSΓL(S11S22−S12S21)=11−ΓSΓin\frac{{{a_1}}}{{{b_s}}} = \frac{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}} = \frac{1}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}bs​a1​​=1−S11​ΓS​−S22​ΓL​+ΓS​ΓL​(S11​S22​−S12​S21​)1−S22​ΓL​​=1−ΓS​Γin​1​

b1bS=S11(1−S22ΓL)+S12ΓLS211−S11ΓS−S22ΓL+ΓSΓL(S11S22−S12S21)=Γin1−ΓSΓin\frac{{{b_1}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{12}}{\Gamma _L}{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}} = \frac{{{\Gamma _{in}}}}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}bS​b1​​=1−S11​ΓS​−S22​ΓL​+ΓS​ΓL​(S11​S22​−S12​S21​)S11​(1−S22​ΓL​)+S12​ΓL​S21​​=1−ΓS​Γin​Γin​​

boutbS=S211−S11ΓS−S22ΓL+ΓSΓL(S11S22−S12S21)=S21(1−S11ΓS)(1−ΓLΓout)=S21(1−S22ΓL)(1−ΓSΓin)\frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}}\\ = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}bS​bout​​=1−S11​ΓS​−S22​ΓL​+ΓS​ΓL​(S11​S22​−S12​S21​)S21​​=(1−S11​ΓS​)(1−ΓL​Γout​)S21​​=(1−S22​ΓL​)(1−ΓS​Γin​)S21​​

b2bS=ΓLboutbS=S21ΓL(1−S11ΓS)(1−ΓLΓout)=S21ΓL(1−S22ΓL)(1−ΓSΓin)\frac{{{b_2}}}{{{b_S}}} = \frac{{{\Gamma _L}{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}bS​b2​​=bS​ΓL​bout​​=(1−S11​ΓS​)(1−ΓL​Γout​)S21​ΓL​​=(1−S22​ΓL​)(1−ΓS​Γin​)S21​ΓL​​

作业

《射频电路设计——理论与应用》
第九章 9.4，9.29, 9.30

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